8.7. Перестановки и сочетания с повторением
Идея перестановки с повторением может показаться бессмысленной, поскольку перестановки ассоциируются с перегруппировками, которые, похоже, не допускают повторений. Если допустить повторение, то необходимо пересмотреть наше представление о перестановке. Главным свойством перестановки является порядок. Строка cab отличается от строки обе. Если опять рассмотреть задачу о номерных знаках автомобилей с тремя буквами, за которыми следуют три цифры, и не допускать повторений, то получим 26х25х24х 10x9x8 различных номерных знаков. Существует Р(25,3) способов выбора букв и Р(10,3) способов выбора цифр. Таким образом, существуют Р(25,3) х Р(10,3) различных номерных знаков. В этом и состоит обычное представление о перестановках. Заметим, что допуская повторение, мы не отказываемся от понятия порядка. Номерной знак ФПФ 199 отличается от номерного знака ПФФ919. Говоря о перестановках с повторением, имеется в виду, что этот порядок сохраняется. Вспомним, что если в номерном знаке разрешить повторения букв и цифр, то существуют 26 возможных способов выбора для каждой буквы и 10 возможных способов выбора для каждой цифры. Таким образом, если разрешить повторение, то будут существовать 263 х 103 возможных номерных знаков. В общем случае, если имеется к упорядоченных мест, для каждого из которых можно выбрать любой из п объектов, существуют nк способов выбора объектов. Таким образом, число перестановок с повторением, когда к объектов выбираются из тг объектов, равно nк. Наверное, идея повторения, использованная здесь, требует разъяснений. Один из способов трактовки повторения — это думать, что повторение предполагает возвращение объекта и повторное его использование. Другой способ трактовки данного типа повторения состоит в том, что имеется столь достаточное количество объектов каждого типа, которое нельзя исчерпать. Например, в случае с номерными знаками требуется теперь только три копии каждой буквы и каждой цифры. Приведенная ниже теорема сформулирована для такого представления о повторении.
ТЕОРЕМА 8.66. Пусть S — множество, содержащее n неразличимых объектов. Тогда количество различных перестановок, образованных выбором k элементов с повторением, равно nк.
ПРИМЕР 8.67. Лототрон содержит 500 шаров с номерами. Из него выбирают шар, номер которого записывают. Шар возвращают в лототрон и процедура повторяется. Так продолжается до тех пор, пока не наберется комбинация из пяти номеров.
Подсчитаем количество возможных комбинаций чисел. Для каждого из пяти чисел имеется 500 способов выбора. Следовательно, число различных комбинаций составляет 5005.
ПРИМЕР 8.68. Сколько существует индивидуальных номеров карточек социального страхования?
Поскольку номер следует выбирать из неотрицательных целых чисел, меньших десяти, то выбираются девять цифр, причем каждая выбирается из десяти цифр с повторением, поэтому имеются 109 различных номеров карточек социального страхования.
Предположим, что комитет состоит из восьми человек. При принятии решения они голосуют "за", “против" или воздерживаются от голосования. Сколько возможных исходов голосования по данному решению? Если интересует вопрос, кто и как голосовал, тогда речь идет о числе перестановок, когда для каждого голосующего имеются три варианта ответа, что дает З8 возможных исходов голосования. Допустим, что нас интересует только общий результат голосования. Таким образом, четыре голоса “за", три голоса “против" и один воздержавшийся — это один из возможных исходов. Таким же возможным исходом является вариант: два голоса “за”, четыре голоса "против” и два воздержавшихся. Для удобства перечислим сначала голоса "за”, затем “против" и, наконец, голоса воздержавшихся. Таким образом, голосование можно изобразить, например, в виде ЗЗППВВВВ, где два голоса “за”, два “против” и четыре воздержавшихся. Далее можно строить разбиение голосов, например, ЗЗ|ПП|ВВВВ. Поскольку порядок расположения голосов понятен, можно перейти к записи хх|хх|хххх, изображающей 33|ПП|ВВВВ. Таким образом, запись хх||хххххх будет представлять два голоса “за” и четыре воздержавшихся, а запись хххххххх|| будет соответствовать голосованию “за" всех восьми членов комитета. Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между возможными исходами голосования и различными способами размещения восьми знаков х и двух знаков |. Но это ни что иное, как количество способов выбора двух мест из десяти для размещения знака | или, что эквивалентно, количество способов выбора восьми мест из десяти для размещения знака х. Следовательно, существуют
способов разместить х и |. А значит, существуют
возможных исходов голосования.
Предположим, что п объектов выбираются из к типов объектов с неограниченным повторением. Пусть аi — объект типа i, тогда n1a1+n2a2+n3a3+…+nkak где ni ≥ 0 для всех i, a n1 + n2 + n3 + nk = n представляет выбор n объектов типа i. Как и прежде, это можно записать в виде
где каждое а, повторено ni раз. Поскольку место расположения каждого типа понятно, то выборку можно записать в виде
Заметим, что разделителей | на один меньше количества типов. Таким образом, имеем n объектов плюс k — 1 разделителей, образующих n + k — 1 мест для размещения х или |. Каждое расположение знаков х и | дает новый способ выбора n объектов из k типов объектов с неограниченным повторением. Поскольку существует С(n + k - 1, n) = С(n + k - 1, k - 1) способов выбора места для знака х или, что эквивалентно, для знака |, то существуют
различных способов выбора n из k типов объектов с неограниченным повторением. Такие выборки будем называть сочетаниями из k объектов по n с повторением. Получаем следующую теорему.
ТЕОРЕМА 8.69. Количество различных сочетаний из к объектов по п равно ПРИМЕР 8.70. Если в булочной продается 10 различных видов пончиков, то сколькими способами можно выбрать дюжину пончиков? Поскольку 12 пончиков выбираются из 10 различных типов с повторением, то имеются
различных способов выбрать дюжину пончиков.
ПРИМЕР 8.71. Сколько решений имеет уравнение
где каждое n, — неотрицательное целое число? Это эквивалентно вопросу о том, сколько существует различных выборок вида
где имеется n, объектов типа а, и
но количество таких выборок — это количество различных сочетаний из 5 элементов по 25 с повторениями. Итак, существуют
различных решений уравнения
Было показано, что число различных сочетаний из k объектов по n объектов с повторением равно
Если необходимо выбрать хотя бы по одному объекту каждого типа, то имеются п-к выборов из к различных объектов. Следовательно, имеем С(n – k + k - 1,k - 1) или С(n — 1 ,k— 1) способов выбора.
ТЕОРЕМА 8.72. Количество различных сочетаний из к объектов по n объектов с повторением, когда необходимо выбрать хотя бы по одному объекту каждого типа, равно
ПРИМЕР 8.73. Если в булочной продается 10 различных видов пончиков, то сколькими способами можно выбрать две дюжины пончиков, если необходимо выбрать хотя бы по одному пончику каждого вида? Если бы не было последнего ограничения, то для выбора двух дюжин пончиков из 10 различных видов существовало бы
различных способов. Однако, учитывая ограничение, можно выбрать только 24 - 10 = 14 пончиков из 10 различных видов, что дает
различных вариантов выбора.
ПРИМЕР 8.74. Найдем количество различных целочисленных решений уравнения
если n1 ≥ 1. n2 ≥ 1 n3 ≥ 2 n4 ≥ 2 и n5 ≥ 2. Представим эту задачу, как подсчет количества выборок вида
причем следует выбрать, по крайней мере, одно а1 одно а2, два а3, два а4 и два а5. Это оставляет для выбора только 25 - 8 = 17 элементов из пяти типов, что дает