8.4. Формирование перестановок и сочетаний

Пусть множество S, содержащее n элементов, линейно упорядочено, например, как целые числа или буквы алфавита, и требуется найти все перестановки данного множества. Это означает, что нас интересует множество строк, которые включа­ют каждый элемент множества S, причем, только один раз. Для начала введем понятие лексикографического порядка. Лексикографическим порядок называет­ся потому, что он лежит в основе упорядочения слов в словаре. Например, слово able в английском словаре стоит перед словом gray, так как в алфавите буква a стоит перед буквой g. Слово goose стоит перед словом gray, потому что, хотя первые буквы совпадают, вторая буква слова goose стоит в алфавите перед второй буквой слова gray. Слово seconded предшествует слову seconds, потому что, хотя первые шесть букв совпадают, седьмая буква слова seconded стоит в алфавите перед седьмой буквой слова seconds. Точно так же число 12346 предшествует числу 12349.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.46. Для заданного линейно упорядоченного множества S лексикографический порядок ≤ на строках элементов множества S опреде­ляется следующим образом: а ≤ b, если а = а₁a₂а_з.. .а_m, b = b₁b₂b₃...b_n, и выполнено одно из условий:

а) а₁ < b1

б) а_i = b_i для всех 1 ≤ i ≤ k и а_к+1 < b_k+1

в) а_i = b_i для всех 1 < i < m и n < m.

Теперь будем формировать множество всех перестановок элементов линейно упорядоченного множества. Для простоты рассмотрим только перестановки пер­вых п целых чисел, отметив, что метод справедлив и для прочих случаев. Пусть строка a₁a₂a₃...a_n обозначает перестановку

Таким образом, 51342 представляет перестановку

Для нахождения всех перестановок необходимо иметь возможность сформи­ровать перестановку, следующую за данной согласно лексикографическому поряд­ку. Поскольку нас интересуют лишь строки одной длины, пункт (в) определения лексикографического порядка можно опустить. При лексикографическом поряд­ке увеличение второй цифры изменит расположение строки в большей мере, чем изменение в пятой цифре. Аналогично, увеличение первой цифры изменит распо­ложение строки в большей степени, чем изменения в седьмой цифре. Например, если начать со слова dare, то слово read находится от него дальше, чем слово dear. Поэтому для формирования следующей строки необходимо менять те сим­волы, которые ближе всего к концу. Предположим, что а_i > a_i+1 для m < а_i < n. Если бы это условие выполнялось для всех неотрицательных m, то мы имели бы лексикографически наибольшую строку, что означало бы завершение процесса. Поэтому допустим, что существует такое m, что а_i > a_i+1 для m < i < n, но а_m < a_m+1 - Если переупорядочить все a_i , где i > m, то мы создадим строку, кото­рая будет лексикографически меньше. Например, любая перестановка последних четырех цифр в строке 12348765 создаст лексикографически меньшее число. Та­ким образом, следует увеличивать цифру а_i, не меняя при этом никакое а_m, где i < m, т.е. нужно увеличивать a_m, оставляя без изменения все а_i, где i < m. Поэтому выберем наименьшее число а_i, такое, что i > m и a_m < а_i. Меняем местами а_m и а_i. Затем переставляем в возрастающем порядке все а_i, следующие за новым a_m. Так мы получим наименьшее из чисел, больших исходного числа.

Например, рассмотрим число 12348765. Для получения следующего числа меняем местами 4 и 5, получая 12358764. Затем переставляем 8, 7, 6 и 4 в воз­растающем порядке и получаем 12354678.

Пусть задано число 1437652. Для нахождения следующего числа меняем местами 3 и 5, получая 1457632. Теперь переставляем 7, 6, 3, 2 в возрастающем порядке, получая 1452367. Обратите внимание, что перестановка последних цифр свелась к записи их в обратном порядке, поскольку до этого они находились в убывающем порядке. Таким образом, приходим к следующей процедуре:

Процедура Формирование перестановки (ai,..., a_n)

Найти т такое, что а_i > a_i+1 для m < а_i < n, но a_m < a_m+1;

Выбрать наименьшую цифру a_i такую что i > m и а_m < а_i;

Поменять местами а_m и а_i;

Переупорядочить все a_i стоящие после нового а_m, в возрастающем порядке;

Конец процедуры.

Теперь рассмотрим метод формирования всевозможных сочетаний из n эле­ментов множества S. Мы не будем использовать лексикографический порядок элементов множества S, а воспользуемся лексикографическим порядком на стро­ках бинарных чисел. Напомним, что любому сочетанию элементов из n элемен­тов соответствует бинарная строка длины n. Если множество S задано в виде

{a₁,а₂,а_з,...,a_n), то единица на месте k-го бита в бинарной строке показывает, что a_k присутствует в выбранном подмножестве, в то время как 0 в том же ме­сте бинарной строки показывает, что а_к не включено в выбранное подмножество. Например, если множество S представляет собой {a₁.a₂,a₃,a₄,a₅}. то 10110 со­ответствует выбору подмножества {a₁,a₃,a₄}, а 10001 — выбору подмножества {a₁,a₅}. Таким образом, для формирования всех сочетаний из множества n эле­ментов достаточно сформировать все бинарные строки длины n. С этой целью проще всего сосчитать от 0 до 2ⁿ - 1, используя бинарные строки длины n.

Эквивалентный метод состоит в том, чтобы показать, как по данной бинар­ной строке длины п построить следующую бинарную строку такой же длины. Для этого достаточно найти в строке первый 0 справа, заменить его на 1, а все элемен­ты справа от новой единицы заменить на 0. Как говорилось ранее, формирование сочетаний не является лексикографическим упорядочением объектов множества, а представляет собой лексикографическое упорядочение бинарных строк.

ПРИМЕР 8.47. Пусть S = {a, b, с, d, е}. Найдем сочетание, следующее за {a,d,е}. Поскольку сочетанию {a, d, е} соответствует бинарная строка 10011, следующей строкой будет 10100. Поэтому следующим сочетанием будет {a,с}.

Рассмотрим, наконец, как сформировать все сочетания по r элементов, вы­бранных из элементов линейно упорядоченного множества S. Снова воспользуем­ся лексикографическим упорядочением элементов множества S. Как и ранее, не ограничивая общности, можем положить S = {1,2,3,...n}. Будем предполагать, что сочетания перечислены в возрастающем порядке. Как и для перестановок, покажем, как по данному сочетанию найти следующее согласно лексикографи­ческому порядку. Предположим, что n = 5 и r = 3. Если можно увеличить последнюю цифру, то так и будем делать. Поэтому, если имеем число 123, то его можно заменить на 124. Если имеем 125, то последнюю цифру увеличивать нельзя. Отсюда переходим к следующей цифре и смотрим, можно ли ее увели­чить. В данном случае это можно сделать, поменяв 2 на 3. Однако мы стремимся построить наименьшее число из тех, которые больше 125. Поэтому увеличиваем последнюю цифру на 1. Имеем первые две две цифры 1 и 3, значит, следующее число — 134. Предположим, что имеется число 145. Последнюю и предпослед­нюю цифры нельзя увеличивать. Однако. 1-ю цифру увеличить можно, поэтому увеличиваем до 2. Чтобы сделать число минимальным, в качестве последних цифр возьмем 3 и 4. В результате получаем число 234.

Если начинать справа, то значение последней цифры будет наибольшим воз­можным, если оно равно n = n - r + r. Если последняя цифра — наибольшая возможная, то предыдущая цифра будет наибольшей возможной, если она рав­на n - r + (r - 1) или n - r + i, где r = r - 1 — позиция предыдущей цифры. В общем случае, значение каждой i-ой цифры будет наибольшим возможным, если цифры справа — наибольшие возможные, и это значение равно n - r + i. Для формирования максимальной перестановки идем справа налево и проверяем, равно ли значение i-ro элемента величине n - r + i. Первое значение, которое не удовлетворяет этому условию, можно увеличить. Например, это значение т на j-ом месте. Увеличиваем m на 1 и затем увеличиваем значение каждого эле­мента. стоящего после j-ro, на 1 значения предыдущего элемента. В результате

приходим к следующей процедуре:

Процедура r-сочетание (п, г)

Начиная справа, найти первую цифру со значением а_i, таким что a_i ≠ n - r + i;

Прибавить единицу к этому значению a_i;

Начиная с a_i+1, увеличиваем его значение на 1;

Конец процедуры.