3. Приклад 1. Розрахунок і конструювання залізобетонної двопролітної балки

1. Вихідні дані для проектування балки

1. Проліт балки l = 5,6 м (рис .1).

2. Ширина ригеля b_p = 40см.

3. Характеристичні навантаження: тривале g = 40 кН/м,

змінне короткочасне p = 13 кН/м.

4. Коефіцієнти надійності за навантаженням:

для експлуатаційних значень γ_fe = 1,0;

для граничних значень γ_fm = 1,4;

5. Клас бетону В25; коефіцієнт умов роботи бетону γ_b2 = 0,9.

6. Клас робочої арматури: поздовжньої - А400С, поперечної – А240С, монтажної – А240С.

7. С посіб армування – звареними каркасами.

2. Визначення розрахункових прольотів та навантаження на балку

Крайніми опорами для балки є цегляні стіни з довжиною площі обпирання, рівною а = 20 см (див. рис. 1). Опору вважаємо шарнірно рухомою, а опорну реакцію прикладеною в центрі довжини обпирання. Середньою опорою є монолітний залізобетонний ригель, з яким балка з’єднана монолітно, і її вважаємо защемленою по його боковим граням.

Розрахунковий проліт балки l_p визначаємо за формулою

= 5,6 – 0,5×0,4 = 5,4 м,

де b_p = 40 см = 0,4 м – ширина ригеля.

Розрахункові значення навантажень визначаємо множенням характеристичних значень на коефіцієнти надійності за навантаженням γ_f. Розрахункові експлуатаційні і розрахункові граничні навантаження знаходимо відповідно за формулами

g_e = γ_feg = 1,0×40 = 40 кН/м; p_e = γ_fep = 1,0×13=13 кН/м;

g_m = γ_fmg = 1,4×40=56 кН/м; p_m = γ_fmp = 1,4×13=18,2 кН/м.

Повні сумарні навантаження q визначаємо як суму тривалих і змінних короткочасних навантажень, тобто q = g + p.

Значення розрахункових експлуатаційних, граничних та повних навантажень на балку наведені в табл. 1.

Таблиця 1

Значення розрахункових експлуатаційних, граничних

та повних навантажень на балку

Вид навантаження	Характе- ристичні, кН/м	Розрахункові навантаження, кН/м
		Експлуата- ційні		Граничні
		γfe	Значен-ня	γfm	Значен-ня
Тривалі, g	40	1,0	40	1,4	56
Короткочасні, p.	13	1,0	13	1,4	18,2
Повні, q	53	1,0	53	1,4	74,2

Розрахункова схема двопролітної балки при дії повного розрахункового граничного навантаження представлена на рис. 2.

3. Визначення згинальних моментів і поперечних сил в перерізах балки

Визначимо величини згинальних моментів і поперечних сил від дії повного розрахункового граничного навантаження q_m з урахуванням перерозподілу зусиль. Опорний згинальний момент на середній опорі M_B в пружній стадії роботи визначаємо, використовуючи рівняння трьох моментів, за формулою

= 270,46 кНм.

В прольотах згинальні моменти визначимо, розглядаючи балку як однопролітну під дією зовнішнього навантаження і опорного моменту M_B (рис. 3). Опорні реакції R_A = R_C і R_B1 знаходимо з умови рівності нулю суми моментів від зовнішнього навантаження і опорних реакцій відносно відповідно опор А і В.

Рівняння моментів відносно опори А для першого прольоту має вигляд

,

відкіля знаходимо

= 250,425 кН;

де - опорна реакція на опорі В від завантаження першого

прольоту.

Аналогічно рівняння моментів відносно опори В -

,

відкіля

150,255 кН

Опорні реакції знайдені правильно, якщо виконується умова

= 250,425+150,255 = 400,68 = 74,2×5,4 = 400,68 кН.

Значення згинальних моментів в будь якому перерізі балки на віддалі х від опори А будемо визначати за формулою

^.

Максимальний граничний згинальний момент в прольоті M_max знайдемо при значенні х_max, коли

відкіля = = 2,02 м.

Максимальний момент при х_max = 2,02м дорівнює

= = 152,13 кНм

Значення граничних згинальних моментів в перерізах при х = kl_p (k = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9 і 1,0) та при x = x_max, наведені в табл. 2 та рис. 3а.

Як свідчать експериментальні дослідження, в реальних умовах дійсні значення моментів в статично невизначених залізобетонних балках відрізняються від знайдених за пружної стадії роботи. Таке відхилення називають перерозподілом зусиль внаслідок утворення в розтягнутих зонах бетону тріщин та виникнення непружніх деформацій в матеріалах [1, 2]. З метою наближення визначених за

пружною стадією значень згинальних моментів до реальних виконаємо їхній перерозподіл таким чином, щоб досягти рівності максимального моменту в прольоті з опорним моментом, тобто, щоб виконувалася умова

Таблиця 2

Значення розрахункових граничних згинальних моментів M_x

і поперечних сил Q_x в перерізах балки

Положення перерізу, х, м	Mel,x, кНм	∆Mx, кНм	Mx, кНм	Qx, кН
0,0lp	0	0	0	150,25
0,1lp	70,32	8,28	78,60	110,18
0,2lp	119,00	16,57	135,57	70,12
0,3lp	146,05	24,85	170,90	30,05
0,375lp	152,13	31,06	183,19	0
0,4lp	151,46	33,13	184,59	-10,02
0,5lp	135,23	41,41	176,64	-50,09
0,6lp	97,37	49,69	147,06	-90,15
0,7lp	37,86	57,98	95,84	-130,22
0,8lp	-43,27	66,26	22,99	-170,29
0,9lp	-146,05	74,55	-71,50	-210,36
1,0lp	-270,46	82,83	-187,63	-250,43

де ∆М – значення додаткового згинального опорного моменту,

який використовуємо для перерозподілу зусиль;

x_max/l_p ≈ 0,375 – для двопролітних балок.

Перерозподіл зусиль виконуємо шляхом додавання до епюри моментів в пружній стадії роботи M_el,x (рис. 3а) епюру моментів трикутного профілю з максимальною ординатою ∆М (рис. 3б). Ординати додаткової епюри моментів в розрахункових перерізах визначали за лінійною залежністю у вигляді

.

Епюра моментів з урахуванням перерозподілу зусиль наведена на рис. 3в, а значення ординат - в табл. 2.

Епюра поперечних сил має лінійний характер (рис. 3г), ліва ордината якої для першого прольоту дорівнює Q_A = R_A, а права - Q_B = R_B1. Для другого прольоту аналогічно – Q_С = R_С і Q_B = R_B2. В перерізах х поперечну силу знаходимо за формулою .

Розрахункові епюри згинальних моментів і поперечних сил в цілому наведені на рис. 4. В правому (другому) прольоті балки значення зусиль прийняті симетрично лівому (першому) прольоту.