Дифракция света

Дифракцией называется огибание волнами препятствий, встречающихся на их пути, или в более широком смысле – любое отклонение распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики. Благодаря дифракции волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через небольшое отверстие в экранах и т.д.

Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия. Оба явления заключаются в перераспределении светового потока в результате наложения (суперпозиции) волн. По историческим причинам отклонение от закона независимости световых пучков, возникающее в результате суперпозиции когерентных волн, принято называть интерференцией волн. Отклонение от закона прямолинейного распространения света, в свою очередь, принято называть дифракцией волн.

Наблюдение дифракции осуществляется обычно по следующей схеме. На пути световой волны, распространяющейся от некоторого источника, помещается непрозрачная преграда, закрывающая часть волновой поверхности световой волны. За преградой располагается экран, на котором возникает дифракционная картина.

Различают два вида дифракции. Если источник света S и точка наблюдения P расположены от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие, и лучи, идущие в точку P, образуют практически параллельные пучки, говорят о дифракции в параллельных лучах или о дифракции Фраунгофера. В противном случае говорят о дифракции Френеля. Дифракцию Фраунгофера можно наблюдать, поместив за источником света S и перед точкой наблюдения P по линзе так, чтобы точки S и P оказались в фокальной плоскости соответствующей линзы (рис.).

Принципиально дифракция Фраунгофера не отличается от дифракции Френеля. Количественный критерий, позволяющий установить, какой вид дифракции имеет место, определяется величиной безразмерного параметра , где b – характерный размер препятствия, l – расстояние между препятствием и экраном, на котором наблюдается дифракционная картина,  – длина волны. Если

Явление дифракции качественно объясняется с помощью принципа Гюйгенса, согласно которому каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн задает положение волнового фронта в следующий момент времени. Для монохроматической волны волновая поверхность есть поверхность, на которой колебания совершаются в одинаковой фазе.

Пусть плоская волна нормально падает на отверстие в непрозрачном экране (рис.). Согласно Гюйгенсу, каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит источником вторичных волн (в изотропной среде они сферические). Построив огибающую вторичных волн для некоторого момента времени, видим, что фронт волны заходит в область геометрической тени, т.е. огибает края отверстия.

Принцип Гюйгенса решает лишь задачу о направлении распространения волнового фронта, но не затрагивает вопроса об амплитуде, а, следовательно, и об интенсивности на фронте волны. Из повседневного опыта известно, что в большом числе случаев лучи света не отклоняются от их прямолинейного распространения. Так, предметы, освещенные точечным источником света, дают резкую тень. Таким образом, принцип Гюйгенса нуждается в дополнении, позволяющем определять интенсивность волны.

Френель дополнил принцип Гюйгенса идеей интерференции вторичных волн. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, световая волна, возбуждаемая каким-либо источником S, может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, излучаемых малыми элементами некоторой замкнутой поверхности, охватывающей источник S. Обычно в качестве этой поверхности выбирают одну из волновых поверхностей, поэтому источники вторичных волн действуют синфазно. В аналитическом виде для точечного источника этот принцип записывается в виде

, (1) где E – световой вектор, включающий в себя временную зависимость , k – волновое число, r – расстояние от точки P на поверхности S до точки P, K – коэффициент, зависящий от ориентации площадки по отношению к источнику и точке P. Правомерность формулы (1) и вид функции K устанавливается в рамках электромагнитной теории света (в оптическом приближении).

В том случае, когда между источником S и точкой наблюдения P имеются непрозрачные экраны с отверстиями, действие этих экранов может быть учтено следующим образом. На поверхности непрозрачных экранов амплитуды вторичных источников считаются равными нулю; в области отверстий амплитуды источников такие же, как при отсутствии экрана (так называемое приближение Кирхгофа).

Метод зон Френеля. Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет в принципе найти амплитуду результирующей волны в любой точке пространства и решить задачу о распространении света. В общем случае расчет интерференции вторичных волн по формуле (1) довольно сложный и громоздкий. Однако ряд задач можно решить, применив чрезвычайно наглядный прием, заменяющий сложные вычисления. Метод этот получил название метода зон Френеля.

Суть метода разберем на примере точечного источника света S. Волновые поверхности представляют собой в этом случае концентрические сферы с центром в S. Разобьем изображенную на рисунке волновую поверхность на кольцевые зоны, построенные так, что расстояния от краев каждой зоны до точки P отличаются на . Обладающие таким свойством зоны называются зонами Френеля. Из рис. видно, что расстояние от внешнего края – m-й зоны до точки P равно

, где b – расстояние от вершины волновой поверхности O до точки P.

Колебания, приходящие в точку P от аналогичных точек двух соседних зон (например, точек, лежащих в середине зон или у внешних краев зон), находятся в противофазе. Поэтому колебания от соседних зон будут взаимно ослаблять друг друга и амплитуда результирующего светового колебания в точке P

, (2) где , , … – амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й, … зонами.

Для оценки амплитуд колебаний найдем площади зон Френеля. Пусть внешняя граница m-й зоны выделяет на волновой поверхности сферический сегмент высоты . Обозначив площадь этого сегмента через , найдем, что, площадь m-й зоны Френеля равна . Из рисунка видно, что . После несложных преобразований, учитывая и , получим

. Площадь сферического сегмента и площадь m-й зоны Френеля соответственно равны

, . (3) Таким образом, при не слишком больших m площади зон Френеля одинаковы. Согласно предположению Френеля, действие отдельных зон в точке P тем меньше, чем больше угол между нормалью n к поверхности зоны и направлением на P, т.е. действие зон постепенно убывает от центральной к периферийным. Кроме того, интенсивность излучения в направлении точки P уменьшается с ростом m и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки P. Таким образом, амплитуды колебаний образуют монотонно убывающую последовательность

.

Общее число зон Френеля, умещающихся на полусфере, очень велико; например, при и число зон достигает ~10⁶. Это означает, что амплитуда убывает очень медленно и поэтому можно приближенно считать

. (4) Тогда выражение (2) после перегруппировки суммируется

, (5) так как выражения в скобках, согласно (4), равны нулю, а вклад последнего слагаемого ничтожно мал. Таким образом, амплитуда результирующих колебаний в произвольной точке P определяется как бы половинным действием центральной зоны Френеля.

При не слишком больших m высота сегмента , поэтому можно считать, что . Подставив значение для , получим для радиуса внешней границы m-й зоны

. (6) При и радиус первой (центральной) зоны . Следовательно, распространение света от S к P происходит так, как если бы световой поток шел внутри очень узкого канала вдоль SP, т.е. прямолинейно.

Правомерность деления волнового фронта на зоны Френеля подтверждена экспериментально. Для этого используются зонная пластинка – в простейшем случае стеклянная пластинка, состоящая из системы чередующихся прозрачных и непрозрачных концентрических колец, с радиусами зон Френеля заданной конфигурации. Если поместить зонную пластинку в строго определенном месте (на расстоянии a от точечного источника и на расстоянии b от точки наблюдения), то результирующая амплитуда будет больше, чем при полностью открытом волновом фронте.

Дифракция Френеля на круглом отверстии. Дифракция Френеля наблюдается на конечном расстоянии от препятствия, вызвавшего дифракцию, в данном случае экрана с отверстием. Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S, встречает на своем пути экран с отверстием. Дифракционная картина наблюдается на экране, параллельном экрану с отверстием. Ее вид зависит от расстояния между отверстием и экраном (для данного диаметра отверстия). Проще определить амплитуду световых колебаний в центре картины. Для этого разобьем открытую часть волновой поверхности на зоны Френеля. Амплитуда колебания, возбуждаемая всеми зонами равна

, (7) где знак плюс отвечает нечетным m и минус – четным m.

Когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда (интенсивность) в центральной точке будет больше, чем при свободном распространении волны; если четное то амплитуда (интенсивность) будет равна нулю. Например, если отверстие открывает одну зону Френеля, амплитуда , то интенсивность ( ) больше в четыре раза.

Расчет амплитуды колебания на внеосевых участках экрана более сложен, так как соответствующие зоны Френеля частично перекрываются непрозрачным экраном. Качественно ясно, что дифракционная картина будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с общим центром (если m четное, то в центре будет темное кольцо, если m нечетное – то светлое пятно), причем интенсивность в максимумах убывает с расстоянием от центра картины. Если отверстие освещается не монохроматическим светом, а белым светом, то кольца окрашены.

Рассмотрим предельные случаи. Если отверстие открывает лишь часть централь­ной зоны Френеля, на экране получается размытое светлое пятно; чередования светлых и темных колец в этом случае не возникает. Если отверстие открывает большое число зон, то и амплитуда в центре , т.е. такая же, как и при полностью открытом волновом фронте; чередование светлых и темных колец происходит лишь в очень узкой области на границе геометрической тени. Фактически дифракционная картина не наблюдается, и распространение света, по сути, является прямолинейным.

Дифракция Френеля на диске. Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S, встречает на своем пути диск (рис.). Дифракционная картина, наблюдаемая на экране, является центрально симметричной. Определим амплитуду световых колебаний в центре. Пусть диск закрывает m первых зон Френеля. Тогда амплитуда колебаний равна

или , (8) так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Следовательно, в центре всегда наблюдается дифракционный максимум (светлое пятно), соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум окружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами. При небольшом числе закрытых зон амплитуда мало отличается от . Поэтому интенсивность в центре будет почти такая же, как при отсутствии диска. Изменение освещенности экрана с расстоянием от центра картины изображено на рис.

Рассмотрим предельные случаи. Если диск закрывает лишь небольшую часть центральной зоны Френеля, он совсем не отбрасывает тени – освещенность экрана всюду остается такой же, как при отсутствии диска. Если диск закрывает много зон Френеля, чередование светлых и темных колец наблюдается только в узкой области на границе геометрической тени. В этом случае , так что светлое пятно в центре отсутствует, и освещенность в области геометрической тени практически всюду равна нулю. Фактически дифракционная картина не наблюдается, и распространение света является прямолинейным.

Дифракция Фраунгофера на одной щели. Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально плоскости узкой щели шириной a. Оптическая разность хода между крайними лучами, идущими от щели в некотором направлении 

.

Разобьем открытую часть волновой поверхности в плоскости щели на зоны Френеля, имеющие вид равновеликих полос, параллельных щели. Так как ширина каждой зоны выбирается такой, чтобы разность хода от краев этих зон была равна , то на ширине щели уместится зон. Амплитуды вторичных волн в плоскости щели будут равны, так как зоны Френеля имеют одинаковые площади и одинаково наклонены к направлению наблюдения. Фазы колебаний от пары соседних зон Френеля отличаются на , поэтому, суммарная амплитуда этих колебаний равна нулю.

Если число зон Френеля четное, то

, (9а) и в точке B наблюдается минимум освещенности (темный участок), если же число зон Френеля нечетное, то

(9б) и наблюдается близкая к максимуму освещенность, соответствующей действию одной нескомпенсированной зоны Френеля. В направлении щель действует, как одна зона Френеля, и в этом направлении наблюдается наибольшая освещенность, точке соответствует центральный или главный максимум освещенности.

Расчет освещенности в зависимости от направления дает

, (10) где – освещенность в середине дифракционной картины (против центра линзы), – освещенность в точке, положение которой определяется направлением . График функции (10) изображен на рис. Максимумы освещенности соответствуют значениям , удовлетворяющие условиям

, , и т.д. Вместо этих условий для максимумов приближенно можно пользоваться соотношением (9б), дающим близкие значения углов. Величина вторичных максимумов быстро убывает. Численные значения интенсивностей главного и следующих максимумов относятся как

и т.д., т.е. основная часть световой энергии, прошедшей через щель, сосредоточена в главном максимуме.

Сужение щели приводит к тому, что центральный максимум расплывается, а его освещенность уменьшается. Наоборот, чем щель шире, тем картина ярче, но дифракционные полосы уже, а число самих полос больше. При в центре получается резкое изображение источника света, т.е. имеет место прямолинейное распространение света.

Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке. Дифракционная решетка представляет собой систему одинаковых щелей, разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. Дифракционную картину от решетки можно рассматривать как результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей, т.е. в дифракционной решетке осуществляется многолучевая интерференция.

Рассмотрим дифракционную решетку. Если ширина каждой щели равна a, а ширина непрозрачных участков между щелями b, то величина называется периодом дифракционной решетки.

Согласно формуле для многолучевой интерференции (Л3-3-5) освещенность в условиях интерференции световых лучей от N щелей равна

. (1) Из рис. видно, что разность хода от соседних щелей равна . Следовательно разность фаз

, (2) где  – длина волны в данной среде. Подставив в формулу (1) выражение для (освещенность от одной щели) и (2) для , получим

(3) ( – освещенность, создаваемая одной щелью на оси линзы).

Первый множитель обращается в нуль в точках, для которых

. (4) В этих точках освещенность, создаваемая каждой из щелей в отдельности, равна нулю. Будут наблюдаться главные минимумы освещенности.

Второй множитель в правой части (3) принимает экстремальное, а все выражение близкое к экстремальному, значение (локальный максимум) в точках, удовлетворяющих условию

. (5) Для направлений, определяемых этим условием, колебания от отдельных щелей взаимно усиливают друг друга. Условие (5) с достаточной точностью определяет положения главных максимумов. Число m дает порядок главного максимума.

Кроме главных минимумов в промежутке между соседними главными максимумами имеется дополнительный минимум. Эти минимумы соответствуют направлениям, при которых второй множитель обращается в нуль. В данных направлениях колебания от отдельных щелей взаимно погашают друг друга. В соответствии с (3) направления дополнительных минимумов определяются условием

. (6) В формуле (6) m принимает все целочисленные значения кроме , т.е. кроме тех, при которых условие (6) переходит в (5).

Между дополнительными минимумами располагаются слабых вторичных максимумов. Интенсивность вторичных максимумов не превышает интенсивности ближайшего главного максимума (см. Л3-3). На рис. качественно представлена дифракционная картина от четырех щелей.

Так как , то из (4) следует, что наибольший порядок главного максимума

, т.е. определяется отношением периода решетки к длине волны. Положение главных максимумов зависит от длины волны . Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального ( ), разложатся в спектр, фиолетовая область которого будет обращена к центру дифракционной картины, красная – наружу. Это свойство дифракционной решетки используется для исследования спектрального состава света (определения длин волн и интенсивностей всех монохроматических компонентов), т.е. дифракционная решетка может быть использована как спектральный прибор.

Основными характеристиками всякого спектрального прибора является его дисперсия и разрешающая сила. Дисперсия определяет угловое или линейной расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу (например, на 1 Å). Разрешающая сила определяет минимальную разность длин волн , при которой две линии воспринимаются в спектре раздельно.

Угловой дисперсией называется величина

, где  – угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на . С помощью (4), опуская знаки, получим

. Отсюда, в пределах небольших углов ( ),

. (7)

Разрешающей силой спектрального прибора называют безразмерную величину

, где  – минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются раздельно.

Согласно критерию Рэлея, изображения двух близлежащих одинаковых точечных источников или двух близлежащих спектральных линий с равными интенсивностями разрешимы (разделены для восприятия), если центральный максимум от одного источника (линии) совпадает с первым минимумом дифракционной картины от другого (рис.). При выполнении критерия Рэлея интенсивность “провала” между максимумами составляет 80 % интенсивности в максимуме, что является достаточным для разрешения источников (линий).

Положение m-го максимума для длины волны и минимума, следующего за m-м максимумом для длины волны , определяется соответственно условиями

. Согласно критерию Рэлея две эти линии разрешаются спектральным прибором, если правые части этих соотношений равны между собой или

. Отсюда, для разрешающей силы получим выражение

. (8) Современные дифракционные решетки обладают довольно высокой разрешающей способностью (до ).

Разрешающая сила объектива. Используя даже идеальную оптическую систему невозможно получить стигматическое изображение точечного источника, что объясняется волновой природой света. Если на объектив падает свет от удаленного точечного источника, то вследствие дифракции световых волн, в фокальной плоскости объектива вместо точки наблюдается дифракционная картина. В результате точечный источник отображается в виде светлого пятна, окруженного чередующимися темными и светлыми кольцами. Соответствующий расчет (дифракции Фраунгофера на круглом отверстии) дает, что первый минимум отстоит от центра дифракционной картины на угловое расстояние

, где D – диаметр объектива (или диафрагмы). Полезно сравнить этот результат с подобным результатом для дифракции на щели. В последнем случае , где a – ширина щели. Если , можно положить

.

Если на объектив падает свет от двух удаленных точечных источников и с некоторым угловым расстоянием , то имеет место наложение их дифракционных картин (рис.). Согласно критерию Рэлея, который в данном случае гласит что, две близкие точки будут еще разрешены, если середина центрального максимума для одной точки совпадает с первым минимумом для второй точки. Таким образом, наименьшее угловое расстояние между двумя точками, при котором они еще разрешаются объективом

. (9) Величина, обратная , называется разрешающей силой объектива

. (10)

Диаметр зрачка глаза при нормальном освещении равен примерно 2 мм. Подставив это значение в формулу (9) и взяв , получим

. Примечательно, что расстояние между соседними светочувствительными элементами сетчатки глаза соответствует этому угловому расстоянию.

Дифракция рентгеновских лучей. Дифракция наблюдается не только на одномерной дифракционной решетке, но также трехмерных периодичных структурах. Подобными структурами являются все кристаллические тела. Однако их период ( ) слишком мал для того, чтобы можно было наблюдать дифракцию в видимом свете. В случае кристаллов соотношение выполняется только для рентгеновских лучей.

В случае света лучи сводятся при помощи линзы. Для рентгеновских лучей осуществить линзу невозможно, так как показатель преломления этих лучей во всех веществах практически равен единице. Поэтому интерференция вторичных волн достигается путем использования весьма узких пучков лучей, которые и без линзы дают на экране (или фотопластинке) пятна очень малых размеров.

Рассматриваем кристалл как совокупность параллельных кристаллографических плоскостей (плоскостей, в которых лежат узлы кристаллической решетки), отстоящих друг от друга на расстояние d. Полагаем, что при падении рентгеновского излучения на кристалл происходит частичное отражение излучения от этих плоскостей. Вторичные волны, отразившиеся от разных плоскостей, когерентны и будут интерферировать между собой. Из рис. видно, что разность хода двух волн, отразившихся от соседних плоскостей, равна , где  – угол, называемый углом скольжения падающих лучей. Максимумы интенсивности (дифракционные максимумы) наблюдаются в тех направлениях, в которых все отраженные атомными плоскостями волны будут находиться в одинаковой фазе. Эти направления определяются условием

. (11) Это соотношение называется Вульфа-Брегга.

Кристаллографические плоскости можно провести в кристалле множеством способов (рис.). Каждая система плоскостей может дать дифракционный максимум, если для нее окажется выполненным условие (11). Однако заметную интенсивность имеет лишь те максимумы, которые дают плоскости с густо расположенными узлами.

Дифракция рентгеновских лучей от кристаллов находит два основных применения. Она используется для исследования спектрального состава рентгеновского излучения (рентгеновская спектроскопия) и для изучения структуры кристаллов (рентгеноструктурный анализ). Определяя направления максимумов, получающихся при дифракции исследуемого рентгеновского излучения от кристаллов с известной структурой, можно вычислить длины волн. Наблюдая дифракцию рентгеновских лучей известной длины волны на кристалле неизвестного строения можно найти межплоскостные расстояния и расшифровать структуру кристалла.

Голография. Голография есть особый способ записи и последующего восстановления изображения предмета, основанный на регистрации интерференционной картины. При освещении фотопластинки (голограммы) пучком света изображение предмета восстанавливается в почти первоначальном виде, так что создается ощущение его реальности.

Для записи предмета на светочувствительной пластинке кроме волны, отраженной от предмета (так называемой предметной волны), используется когерентная с ней волна от источника света (так называемая опорная волна). На фотопластинке фиксируется распределение интенсивности в интерференционной картине, возникающей при наложении предметной и опорной волн. При освещении проявленной фотопластинки происходит дифракция света в фотослое. В результате дифракции восстанавливается изображения предмета.

Практически идея голографии осуществляется с помощью схемы, изображенной на рис. Лазерный пучок делится на две части, причем одна его часть отражается зеркалом на фотопластинку (опорная волна), а вторая попадает на фотопластинку, отразившись от предмета (предметная волна). Опорная и предметная волны, являясь когерентными, при наложении интерферируют. Интерференционная картина фиксируется на фотопластинке, после ее проявления получается голограмма – изображение интерференции.

Для восстановления изображения голограмма помещается в то же самое положение, где она находилась до регистрации. Ее освещают опорным пучком того же лазера (вторая часть лазерного пучка перекрывается диафрагмой). В результате дифракции опорной волны возникает несколько волн. Одна волна дает мнимое изображение, которое точно воспроизводит предмет. Другая волна образует действительное изображение предмета. Действительное изображение псевдоскопично – оно имеет рельеф, обратный рельефу предмета (выпуклые места заменены вогнутыми и наоборот). Третья волна является продолжением падающей с меньшей интенсивностью.

Рассмотрим принцип голографии на простом примере. Пусть на фотопластинку падают две когерентные волны, идущих под углом друг к другу. Волна 1 является опорной, волна 2 – предметной (предмет в данном случае представляет бесконечно удаленную точку). Для простоты, предположим, что волна 1 падает на пластинку нормально.

Вследствие интерференции волн на пластинке образуется (и фиксируется) система прямолинейных полос – максимумов и минимумов интенсивности. Пусть точки a и b соответствуют серединам соседних максимумов. Тогда разность хода соответствующих лучей предметной волны до этих точек равна . Из рис. видно, что разность хода и, следовательно,

. (12)

Направим свет опорной волны на проявленную фотопластинку. Пластинка является дифракционной решеткой, период которой определяется формулой (12). Особенность этой решетки состоит в том, что ее прозрачность изменяется плавно (у обычных решеток она изменялась скачком). Эта особенность приводит к тому, что интенсивность дифракционных максимумов выше 1-го практически равна нулю и результирующая дифракционная картина определяется условием

. (13) Максимум m  0 лежит на продолжении опорного пучка. Максимум m  +1 имеет такое же направление, какое имела предметная волна. Кроме того, возникает максимум m  1.

Сходная ситуация возникает и при освещении голограммы, полученной от реального предмета. При этом будет восстановлена световая волна, отраженная предметом (ей отвечает m  +1). Кроме нее, возникают еще две волны (отвечающие m  0 и m  1). Последние распространяются в других направлениях и не мешают восприятию мнимого изображения предмета (которое и представляет главный интерес).

Рассмотренный способ дает одноцветные изображения (цвета лазера). Цветное зрение связано с тремя типами светочувствительных элементов сетчатки глаза, реагирующих на красное, зеленое и синее. Зрительное восприятие, поэтому, складывается из трех одноцветных изображений, соответственно красного, зеленого и синего. Это свойство зрения используется в цветной голографии.

Цветная голография основана на записи объемной интерференционной картины. Восстановление изображения происходит при отражении света от голограммы. Схема записи и восстановления цветного изображения приведена на рис. При записи предмет (последовательно или одновременно) освещается излучением трех цветов: красным, зеленым и синим. В толще фотоэмульсии образуется (и фиксируются) три пространственные интерференционные картины. При освещении белым цветом каждая из систем формирует свое одноцветное изображение предмета. В результате, при наложении трех одноцветных, получаются цветное изображение предмета.