§ 6. Векторные операции II-го порядка. Символика гамильтона.

В предыдущих параграфах мы ввели понятия: вектора , характеризующего скорость изменения скалярного поля; производную по направлению , характеризующую скорость изменения величины в направлении l; скаляра , вектора , характеризующих плотность источников и вращательную способность векторного поля. Были указаны формулы для вычисления этих величин в декартовых координатах.

Пусть - скалярное поле, - векторное поле.

1)

Где - единичный вектор в направлении .

2) - скаляр.

3) - вихрь вектора , являющийся вектором.

Известным английским математиком Гамильтоном было замечено, что все эти (и многие другие) операции можно записать кратко при помощи следующего символического вектора – оператора (читается «набла», оператор Гамильтона).

Проекции символического вектора оператора Гамильтона – суть.

.

Сам вектор не имеет реального смысла, но результат его применения, как оператора к скалярным или векторным функциям (величинам) дает вполне реальную физическую величину.

Тогда символически (обращаясь с как с вектором в прямоугольной декартовой системе координат и понимая запись ) операции 1), 2), 3) которые называют операциями I-го порядка можно записать в виде:

1)

Таким образом, под символическим произведением вектора на скаляр понимается вектор с координатами:

2)

3) Найдем векторное произведение символического вектора:

на вектор - есть вектор.

=

= - это вектор, который называют вихрем поля . от английского слова - вращение.

Производную по направлению можно записать в виде:

и вообще .

Таким образом, операции первого порядка могут быть единообразно записаны с помощью символического вектора набла.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Векторные операции I-го порядка линейны относительно своих аргументов.

Доказательство:

Следует из линейности дифференцирования и скалярного и векторных произведений.

НАПРИМЕР.

и

Заметим также, что соотношения, содержащие не зависят от выбора системы координат (это доказано для ).

Многие формулы векторного анализа легко выводятся при использовании символического вектора . Нужно понимать, что на функции и векторы, стоящее справа от , этот оператор действует как дифференциальный, а функции и векторы, стоящие слева от , перемножаются с как с обычным вектором по правилам векторной алгебры. В результате такого умножения получается новый дифференциальный оператор.

Применяя, оператор к произведениям векторов и скаляров, будем пользоваться следующим правилом:

1. Если оператор действует на какое-либо произведение, то в первую очередь учитывается его дифференциальный характер, а затем уже векторное свойство.

2. Чтобы отметить тот факт, что не воздействует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину отмечают индексом или «стрелкой» (например ), который в окончательном результате может быть снят.

3. Все величины, на которые оператор не воздействует, в окончательном результате ставятся впереди , т.е. слева от него.

Так, например, в оператор есть оператор дифференцирования

функции одной переменной и тогда правило нахождения производной произведения сводится:

ЗАМЕЧАНИЕ.

Под дифференциальными операциями II-го порядка понимаются операции, в которых символ встречается дважды. При этом формулы векторной алгебры считаются справедливыми при замене обычного вектора символическим вектором .

Усвоим некоторые элементы техники обращения с оператором .

Вы можете проверить получающиеся формулы в координатах.

1. Пусть , тогда

2)

3)

=

4)

=

Наряду с обозначениями векторного произведения будем использовать и .

Нами будет использовано и двойное векторное произведение, известное вам из аналитической геометрии (1 семестр):

5)

= .

6)

= .

7) .

Вектор поэтому скалярное произведение равно 0, т.е. . Т.е. поле вихря вектора не имеет источников и стоков.

8) .

Т.к. векторы и параллельны, т.е. поле вектора безвихревое.

9) .

10) Наряду с используют оператор Лапласа или Лапласиан.

Df. Оператором Лапласа или Лапласианом называется закон образования дивергенции от вектора :

физический смысл. Численное значение Лапласиана определяет плотность источников (если ) или стоков (если ) векторного поля .

Справедлива формула:

, где символ , так что .

Df. Скалярное поле , удовлетворяющее условию , называется лапласовым или гармоническим полем.

Дифференциальные операции II-го порядка можно для наглядности записать в виде таблицы:

	Скалярное поле	Векторное поле
	----------------------------		----------------------------------
		-----------------
		-----------------

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ВЕЛИЧИН ПОЛЯ

Наименование величины и обозначение	Определение или запись с помощью операторов Гамильтона и Лапласа	Формула записи в декартовых координатах
-1-	-2-	-3-
Градиент скалярного поля
Расходимость векторного поля ;
Поток векторного поля П	; в частности через замкнутую поверхность S: (Теорема Остроградского)
Ротор векторного поля ;		+
-1-	-2-	-3-
Работа (линейный интеграл) векторного поля вдоль контура ; W	где	. +
Циркуляция векторного поля вдоль контура l. Ц	.	+ + .
		+ + .

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОСНОВНЫХ ВЕЛИЧИН ПОЛЯ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ

Градиент скалярного поля
Расходимость векторного поля	где	где .
Поток векторного поля через замкнутую поверхность
Ротор векторного поля	.	+ + +