§ 4. Формула стокса.
Df.1
Пусть
,
- область, векторное поле
.
Ротором
(вихрем)
векторного поля
называется:
(1)
(1)
операторная форма записи
.
Для того, чтобы получить обычную запись
необходимо рассмотреть определитель.
При этом нужно понимать:
и т.д. Тогда:
Очевидно, операция ставит в соответствие векторному полю векторное поле , определенное в G.
Th.1 (ТЕОРЕМА СТОКСА)
Пусть
,
G
– область.
- кусочно-гладкая;
-
кусочно-замкнутый контур, ограничивающий
П.
Тогда:
(3)
(3) – формула Стокса.
(Б/д).
При этом сторона поверхности и направление обхода контура согласованы. Как правило, обычно выбирается внешняя сторона П.
Th.2 (ТЕОРЕМА ГРИНА)
Пусть
,
-
область,
-
кусочно-гладкая граница D,
ориентированная
против часовой стрелки;
,
тогда:
(4)
(4) – формула Грина.
(Б/д).
Покажем, что (4) – есть частный случай формулы Стокса. Причем это нельзя считать доказательством, т.к. при доказательстве (3) используется (4).
Итак: плоскость П
зададим так:
.
D
Тогда
,
кроме того
.
Из (3)
(по
теореме о сведении поверхностного
интеграла II-го
рода к двойному)
Здесь
,
очевидно
,
т.е. С=1.
Итак:
СЛЕДСТВИЕ ИЗ Th.1
Пусть
,
G-область,
определен в G
и инвариантен относительно системы
координат.
Д
оказательство:
Г
D
●
G
●
Рассмотрим
направление,
задаваемое
.
П
– плоскость, перпендикулярная
,
проходящая через точку
.
Пусть D
– поверхность:
.
Г – граница (кусочно-гладкая) поверхности D. Направление обхода D согласовано с . Применим формулу Стокса для поверхности D с нормалью и границей Г:
где
=
,
- проекция
на направление
.
По теореме о среднем для поверхностного
интеграла I-го
рода:
,
что
(*)
Отметим, что
- непрерывное векторное поле.
Перейдем в (*)
к пределу при
(
,
).
В силу непрерывности
найдем:
Т.к.
и
не зависят от выбора системы координат,
то
не зависит от выбора системы координат
инвариантен относительно выбора системы
координат. (Достаточно взять три
неколлинеарных вектора
и считать, что
,
проекции
на
.
Есть его координаты).
СЛЕДСТВИЕ 2.
Пусть
(т.е.
и
они непрерывны в G)
определяет
соленоидальное поле в G,
т.е.
.
САМОСТОЯТЕЛЬНО.
Действительно
.
:
