§2. Поверхностный интеграл II –го рода.

Df.1 Пусть - простая (без самопересечений) гладкая ориентированная поверхность. - определена на П, .

- единичный вектор нормали к поверхности П, соответствует внешней стороне.

Поверхностным интегралом от вектора-функции по внешней стороне поверхности называется поверхностный интеграл I-го рода от функции ;

(1)

Если рассматривать интеграл по внутренней стороне поверхности, то:

(2)

В дальнейшем, если нет особых говорок, под интегралом по поверхности П будем понимать интеграл по внешней стороне .

В прямоугольной декартовой системе координат .Очевидно:

Тогда:

(3)

это выражение зависит не только

от вектора-функции P,Q,R, но и от направления нормали в каждой точке этой поверхности. Т.к. - проекция вектора на направления нормали , то:

(4)

Обозначим - вектор, соответствующий элементу поверхности dS.

Т.к. dS – бесконечно малый элемент площади поверхности, то выражения ;

- представляют собой проекции элемента dS на плоскости yz, zx, xy.

Т.е. - координаты этого вектора есть проекции на координатные плоскости. Тогда:

(5)

В правой части формулы (5) достаточно запомнить написанное слагаемое , т.к. остальные слагаемые получаются при помощи круговой подстановки символов.

P dx

R Q dz dy

Следует помнить, что не допускается в «символах» типа dxdy перестановки.

Последний интеграл называется поверхностным интегралом II-рода по выбранной стороне поверхности. По сути дела – это координатная форма записи поверхностного интеграла от вектор - функции.

(5) можно рассматривать как сумму трех интегралов, которые также носят название поверхностных интегралов II- рода и обозначаются так:

(6)

Отметим, что формулы (4) и (6) дают фактически связь поверхностного интеграла II-го рода с поверхностным интегралом I-го рода.

ЗАМЕЧАНИЕ.

Отличие поверхностного интеграла II-го рода от интеграла I-го рода состоит в том, что в интеграле II-го рода элемент площади dS рассматривается не как скалярная величина, а как вектор , направленный по нормали к поверхности и имеющий компоненты:

(*)

Df.2 Пусть -ориентированная кусочно-гладкая поверхность, тогда поверхностным интегралом от векторной функции называется:

(7)

Перейдем к условиям существования поверхностного интеграла II-го рода.

Th.1 (НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ)

Пусть и П кусочно-гладкая ограничена на П.

(Б/д).

Th.2 (ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ)

Пусть , что . П кусочно-гладкая .

(Б/д).

Th.3 (СВЕДЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНОГО ИНТЕГРАЛА II-ГО РОДА К ДВОЙНОМУ)

Пусть - гладкая ориентированная и . Тогда:

= (8)

Доказательство:

(по теореме о вычислении интеграла I-uj рода) = .

Учитывая, что , приходим к скалярной записи формулы (8).

ЗАМЕЧАНИЕ.

Если учесть, что и П задано вектором -непрерывное, то воспользовавшись тем, что:

(*)

При помощи двойного интеграла по плоской области D, от смешанного произведения трех векторов запишем последнюю формулу (*) в координатной форме, т.е.:

= + +

+ (8’)

При получении формулы (8’) было применено разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки; определители второго порядка записаны через соответствующие Якобианы.

При переходе от левой части к правой в (8’) нужно произвести следующие замены символов:

СЛЕДСТВИЕ.

Пусть - гладкая ориентированная. , тогда:

(9)

Доказательство:

Следует из формулы (8) и того факта, что , где , .

Заметим, что в следствии предполагается, что П проектируется на область плоскости взаимнооднозначно. Иногда удобно применить второй способ вычисления поверхностных интегралов II-го рода – отдельно вычисляются составляющие интеграла.

Th.5 Пусть П может быть задана любым из трех способов:

где , , - взаимнооднозначные проекции П на координатные плоскости . Тогда:

(10)

Причем знак «+» берется в том случае, если составляет с осями Ox, Oy, Oz острый угол в противном случае наоборот.

Доказательство:

Покажем справедливость последней формулы в (10). Остальные доказываются аналогично, нужно только выписать формулы для координат вектора для этих случаев:

Т.к. =

= - для внешней стороны.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.

В этом случае. Если используются формулы (9) или (10) и нет взаимнооднозначных проекций на координатные плоскости необходимо , так что условия теорем 4 и 5 выполняются.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.

Если :

Т.е. П – цилиндрическая поверхность. Доказательство этого факта следует из определения поверхностного интеграла II-го рода и того факта, что в этих случаях соответственно:

.

СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТНОГО ИНТГЕРАЛА II-ГО РОДА

Поверхностные интегралы II-го рода обладают теми же свойствами, что и поверхностные интегралы I-го рода, кроме того и дополнительными свойствами.

Полагаем, что П – гладкая ориентированная, .

1. Линейность.

(Переформулировать самостоятельно.) Аналогично как и для поверхностного интеграла II-го рода, принимая , учитывая , тогда: .

2. При перемене стороны поверхности поверхностный интеграл изменяет свой знак.

(11)

Где - внешняя сторона поверхности, а - внутренняя сторона.

Доказательство:

= = = , т.к. .

3. Пусть П – гладкая, - пунктирное разбиение П, , тогда:

(12)

Доказательство следует из связи поверхностного интеграла II-го рода с поверхностным интегралом I-го рода и определения последнего через интегральные суммы. Аналогично:

,

где .

,

где .

,

где .

ПРИЛОЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНОГО ИНТЕГРАЛА II-ГО РОДА

Пусть П – поверхность, , что в G задано поле скоростей жидкости .

Положим, что на постоянная и отождествляем с пластинкой с нормальным вектором и площадкой . Тогда естественно приближенно положить, что количество жидкости, вытекаемое через в единицу времени в направлении внешней стороны ( цилиндра) равно . Тогда положим, что через всю поверхность П вытекает за единицу времени:

Поэтому называется потоком вектора через поверхность П.

Если поток < 0, то это значит, что жидкость вытекает.

Df.1 Потоком векторного поля через ориентированную поверхность П называется интеграл по поверхности П от скалярного произведения , где - единичный нормальный вектор к положительной стороне поверхности. Если П замкнута. То положительной обычно считают ее внешнюю сторону. Тогда обозначают: