10.4.3. Найбільше і найменше значення функції в замкнутій області
Нехай
функція
визначена
і неперервна в обмеженій замкнутій
області
.
Тоді вона досягає в деяких точках свого
найбільшого
і найменшого
значень (т.3. глобальний екстремум). Ці
значення досягаються функцією в точках,
розташованих усередині області, або в
точках, що лежать на межі області.
Правило знаходження найбільшого і найменшого значень диференційованої в області функції полягає в наступному:
1. Знайти всі критичні точки функції, що належать і обчислити значення функції в них;
2. Знайти найбільше і найменше значення функції на кінцях області;
3
.
Порівняти всі знайдені значення
функції і вибрати з них найбільше
і найменше
.
Приклад
2.
Знайти щонайбільше і якнайменше
значення функції
в
замкнутій області, обмеженій лініями:
,
,
,
(див. рис. 7).
Тут
1. Знаходимо всі критичні точки:
Рис. 7
Розв’язком
системи є точки
Жодна із знайдених точок не належить області .
2.
Досліджуємо функцію
на
межі області, що складається з ділянок
(рис. 212).
На
ділянці
:
,
,
де
,
,
.
Значення функції
,
.
На
ділянці
:
,
,
де
,
,
.
Значення функції
,
.
На
ділянці
:
,
;
;
.
Значення функції
На
ділянці
:
,
Значення
функції
3.
Порівнюючи отримані результати, маємо:
а
