10.4. Екстремум функції двох змінних
10.4.1. Основні поняття
Поняття максимуму, мінімуму, екстремуму функції двох змінних аналогічні відповідним поняттям функції однієї незалежної змінної (див. п. 25.4).
Нехай
функція
визначена
в деякій області
,
точка
Точка
називається точкою
максимуму
функції
якщо існує такий
–
окіл
точки, що для кожної точки
,
відмінної від
,
з цього околу виконується нерівність
.
Аналогічно
визначається точка мінімуму функції:
для всіх точок
,відмінних
від
,із
–
околу точки
виконується нерівність:
.
На
рисунку 5:
–
точка максимуму,
–
точка мінімуму функції
.
З
начення
функції в точці максимуму (мінімуму)
називається максимумом
(мінімумом)
функції.
Максимум і мінімум функції називають
її екстремумами.
Відзначимо, що, за означенням, точка екстремуму функції лежить всередині області визначення функції; максимум і мінімум мають локальний (місцевий) характер: значення функції в точці порівнюється з її значеннями в точках достатньо близьких до . В області функція може мати декілька екстремумів або не мати жодного.
Рис. 5
10.4.2. Необхідні і достатні умови екстремуму
Розглянемо умови існування екстремуму функції.
Теорема
10.4.1.
(необхідні
умови екстремуму). Якщо в точці
диференційовна функція
має
екстремум, то її частинні похідні в цій
точці рівні нулю:
,
.
Зафіксуємо
одну із змінних. Покладемо, наприклад
.
Тоді отримаємо функцію
однієї змінної, яка має екстремум при
.
Отже, згідно необхідній умові екстремуму
функції однієї змінної (див. п. 25.4),
,
тобто
.
Аналогічно можна показати, що .
Геометрично
рівності
і
означають, що в точці екстремуму функції
дотична
площина до поверхні, що зображає функцію
,
паралельна площині
,
так як рівняння дотичної площини
(див. формулу (3.2)).
Зауваження. Функція може мати екстремум в точках, де хоча б одна з частинних похідних не існує.
Наприклад,
функція
має максимум в точці
(див. рис. 6), але не має в цій точці
частинних похідних.
Точка,
в якій частинні похідні порядку функції
рівні
нулю, тобто,
,
,
називається стаціонарною
точкою
функції
.
Стаціонарні точки і точки, в яких хоча б одна частинна похідна не існує, називаються критичними точками. Рис.6
В
критичних точках функція може мати
екстремум, а може і не мати. Рівність
нулю частинних похідних є необхідною,
але не достатньою умовою існування
екстремуму. Розглянемо, наприклад,
функцію
.
Для неї точка
є
критичною (в ній
і
перетворюються в нуль). Проте екстремуму,
в ній функція
не
має, так як в достатньо малому околі
точки
знайдуться
точки для яких
(точки І і III четвертей) і
(точки II і IV четвертей).
Таким чином, для знаходження екстремумів функції в даній області необхідно кожну критичну точку функції піддати додатковому дослідженню.
Теорема
10.4.2.
(достатня умова екстремуму). Нехай в
стаціонарній точці деякого її околу
функція
має
неперервні частинні похідні до другого
порядку включно. Обчислимо в точці
значення
,
Позначимо
Тоді:
1. якщо
,
то функція
в точці
має екстремум:
максимум,
якщо
;
мінімум,
якщо
;
2. якщо
,
то функція
в
точці
екстремуму не має.
У випадку
екстремум
в точці
може
бути, може не бути. Необхідні додаткові
дослідження.
Приймемо без доведення.
Приклад
1.
Знайти екстремум функції
.
Тут
Точки, в яких частинні похідні не існують,
відсутні.
Знайдемо стаціонарні точки, розв’язуючи систему рівнянь:
Звідси
одержуємо точки
і
Знаходимо
частинні похідні другого порядку даної
функції:
В точці
маємо:
,
звідси
тобто
Оскільки , то в точці функція має локальний максимум
В точці
:
і,
значить
.
Проведемо додаткове дослідження.
Значення функції
в точці
рівне нулю:
.
Можна помітити, що
при
,
при
,
.
Значить, в околі точки
функція
приймає як негативні, так і позитивні
значення. Отже в
точці
функція екстремуму не має.