2. Зонная теория твердых тел

В основе законной теории лежит адиабатическое приближение

Квантово-механическая система разделится на

Тяжелые ядра

Легкие электроны

Электроны двигаются в поле неподвижных ядер, а медленно движущиеся ядра находятся в усредненном поле всех электронов. Ядра в узлах кристаллической решетки неподвижны, движение электрона рассматривается в постоянном периодическом поле ядер.

Приближение самосогласованного поля

Взаимодействие данного электрона со всеми другими электронами заменяется действием на него стационарного электрического поля, обладающего периодичностью кристаллической решетки. Это поле создается усредненным в пространстве зарядом всех электронов и ядер. В рамках зонной теории многоэлектронная задача сводится к задаче о движении одного электрона к задаче о движении одного электрона во внешнем периодическом поле – усредненном и согласованном поле всех ядер и электронов.

Рассмотрим мысленно «процесс образования» твердого тела из изолированных атомов. Пока атомы изолированы, т.е. находятся друг от друга на макроскопических расстояниях, они имеют совпадающие схемы энергетических уровней.

По мере «снятия» кристаллической решетки, т.е. когда расстояния между атомами приводят к тому, что энергетические уровни атомов смещаются, расщепляются и расширяются в зоны, образуется зонный энергетический спектр.

В зависимости от расстояния r между атомами расщепляются и расширяются лишь уровни внешних, валентных электронов наиболее слабо связанных с ядром и имеющих наибольшую энергию, а так же более высокие уровни, которые в основном состоянии атома вообще электронами не заняты.

Уровни внутренней энергией электронов не заняты. Уровни внутренних электронов либо совсем не расщепляются, либо расщепляются слабо. В твердых телах внутренние электроны ведут себя так же, как в изолированных атомах, валентные электроны «коллективизированы» - принадлежат всему твердому телу.

Образование зонного энергетического спектра в кристалле является квантово-механическим эффектом и вытекает из состояния неопределенностей.

В кристалле валентные электроны атомов, связанные слабее с ядрами, чем внутренние электроны могут переходить от атома к атому сквозь потенциальный барьер.

Разрешенные энергетические уровни включают в себя столько близ лежащих уровней, столько, сколько содержится в кристалле.

Разрешенные энергетические зоны разделены зонами запрещенных значений, называемыми энергетическими зонами. В них электроны находится не могут. Ширина зон (разрешенных и запрещенных) не зависит от размера кристалла.

Разрешенные зоны тем шире, чем слабее связь валентных электронов с ядрами.

3. Электропроводность. Сверхпроводимость

Электронный ток – упорядоченное движение заряженных частиц.

Теория электропроводимости металлов, основывается на квантовой механике и квантовой статике Ферми-Дирака.

, где

n – концентрация электронов проводимости в металле

< > - средняя длина свободного пробега электрона, имеющего энергию Ферми

<U_F> - средняя скорость теплового движения электрона.

Согласно корпускулярно-волновому дуализму движению электрона сопоставляют волновой процесс.

Идеальная кристаллическая решетка ведет себя подобно оптически однородной среде – она «электронные волны» не рассеивает это соответствует тому, что металл не оказывает электрическому току никакого сопротивления.

В реальной кристалличе5ской решетке происходи рассеивание волн на неоднородностях, что является причиной электрического сопротивления.

Сверхпроводимость

Между электронами металла помимо кулоновского отталкивания, в достаточной степени ослабляемого экранирующим действием положительных ионов решетки, в результате электрон-фононного взаимодействия возникает слабое взаимно притяжение. Это взаимное притяжение при определенных условиях может преобладать над отталкиванием.

В результате электроны проводимости, притягиваясь образуют своеобразное связанное состояние, называемое куперовской парой.

«Размеры» пары много больше среднего межатомного расстояния, т.е. между электронами, «связанными» в пару, находятся много «обычных» электронов.

Чтобы разрушить пару, надо затратить некоторую энергию, которая пойдет на преодоление сил притяжения электронных пар.

Электроны, входящие в куперовскую пару, имеют противоположно направленные спины.

Поэтому спин такой пары равен нулю, и она представляет собой бозон.

К бозонам принцип Паули неприменим, и число бозе-частиц, находящихся в одном состоянии, не ограниченно.

Система бозе-частиц – куперовских пар, обладая устойчивостью относительно возможности отрыва электрона, может под действием внешнего электрического поля двигаться без сопротивления со стороны проводника, что и приводит к сверхпроводимости.

Выводы

1. Электроны проводимость в металле рассматривается как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми-Дирака

, где

μ₀ – химический потенциал газа

N(E) – среднее число электронов в квантовом состоянии с энергией Е.

2. Электронный ток – упорядоченное движение заряженных частиц.

Теория электропроводимости металлов, основывается на квантовой механике и квантовой статике Ферми-Дирака.

, где

n – концентрация электронов проводимости в металле

< > - средняя длина свободного пробега электрона, имеющего энергию Ферми

<U_F> - средняя скорость теплового движения электрона.