7.2 Выбор образующего полинома циклического кода

Теоретические вопросы выбора оптимальных параметров и синтеза кодовых комбинаций циклического кода рассмотрены в [1,2,4].

Очевидно, что введение необходимой величины избыточности будет определяться длиной информационной части k, заданным значением допустимой вероятности ошибки Р_но, кратностью обнаруживаемых ошибок t_обн и качеством самого канала связи.

Для инженерных расчетов широкое применение нашла модель потока ошибок, предложенная Л. П. Пуртовым, которая с достаточной для практики точностью описывает характеристики потока ошибок с пакетированием.

Исследуя статистику ошибок в канале связи, было замечено, что вероятность появления ошибок кратности t в n разрядной кодовой комбинации равна:

; (1)

где α ‑ коэффициент группирования ошибок в дискретном канале.

Для канала без группирования (без памяти) α = 0, а при α = 1 ошибки сосредоточены в одном пакете.

Для обнаружения числа ошибок кратностью t необходим циклический код с кодовым расстоянием не менее тогда формула 1 примет вид:

. (2)

С некоторым приближением можно связать вероятность появления ошибок кратности t [P( t, n)] с вероятностью необнаруженной УЗО ошибки P_но и числом проверочных разрядов в кодовой комбинации следующим образом:

(3)

Подставив в формулу 3 значение P( t, n) и, выполнив преобразование, вычислим r

(4)

При расчёте на ПК удобнее пользоваться десятичными логарифмами. После преобразований:

(5)

Так как в этой формуле n = k + r, требуемое значение r может быть определено путем подбора величины r, удовлетворяющее неравенству:

. (6)

Подбор величины r необходимо начать с 3 и увеличивать на 1 до тех пор, пока не удовлетворится неравенство.

Зная величину r, т.е. величину высшей степени образующего полинома, следует выбрать соответствующий полином из таблицы 4.

Например, рассчитаем количество проверочных символов и выберем образующий полином для следующих исходных данных:

• вероятность ошибки в канале связи р_ош = 3*10^-5;

• вероятность необнаруженной ошибки декодером Р_но = 1,5*10^-6;

• минимальное кодовое расстояние d = 3;

• коэффициент группирования α = 0,6.

Подставим в формулу (6) исходные данные, а также значение r, начиная с 3:

r = 3: - неравенство не выполняется

r = 4: - неравенство не выполняется

r = 5: - неравенство не выполняется

r = 6: - неравенство не выполняется

r = 7: - неравенство выполняется. Поэтому, значение r = 7.

Для выбора образующего полинома из таблицы 4 можно воспользоваться любым из трех приведенных полиномов для количества проверочных символов, равного 7. Выберем второй полином: x⁷ + x⁴ + x³ + 1.

Таблица 4

Степень образующего полинома	Вид полинома
1	x+1
2	x2+x+1
3	x3+x+1 x3+x2+1
4	x4+x+1 x4+x3+1 x4+x3+x2+x+1
5	x5+x3+1 x5+x3+x2+1 x5+x4+x2+x+1 x5+x4+x3+x2+1
7	x7+x3+1 x7+x4+x3+1 x7+x3+x2+x+1
8	x8+x4+x3+x+1 x8+x5+x4+x3+1 x8+x7+x5+x+1
9	x9+x4+x2+x+1 x9+x5+x3+x2+1 x9+x6+x3+x+1
10	x10+x3+1 x10+x4+x3+x+1 x10+x8+x3+x2+1
11	x11+x2+1 x11+x7+x3+x2+1 x11+x8+x5+x2+1
12	x12+x6+x4+x+1 x12+x9+x3+x2+1 x12+x11+x6+x4+x2+x+1
13	x13+x4+x3+1 x13+x10+x9+x+1 x13+x12+x11+x2+1
14	x14+x13+x11+x9+1 x14+x12+x10+x4+x2+x+1 x14+x12+x2+x+1
15	x15+x12+x3+x+1 x15+x13+x5+x+1 x15+x14+x13+x10+x2+x+1
16	x16+x15+x7+x2+1 x16+x14+x12+x3+x2+x+1 x16+x12+x5+x+1