Контрольна робота № 2

З вищої математики

Для студентів третього курсу

Заочного відділення.

Завдання № 1. Дана функція z=f(x, y) і точка A(x₀, y₀). Знайти:

1. градіент функції в точці A(x₀, y₀);

2. похідну функції в напрямку вектора ;

1. , (4, 3), A(1, 2)

2. , (3, -4), A(1, 3)

3. , (3, 2), A(4, 1)

4. , (-1, 2), A(2, 3)

5. , (5, 3), A(2, 1)

6. , (-3, 2), A(2, 4)

7. , (-1, 1), A(-1, 3)

8. , (2, -1), A(3, 2)

9. , (-2, 4), A(3, 4)

10. , (4, -3), A(1, 2)

Завдання № 2. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння.

1 варіант	(х2-у2)y’=2xy	(1-x2)y’’=xy’
2 варіант	(1+x2)y’-2xy=(1+x2)2	2yy’’+(y’)2+(y’)4=0
3 варіант	xy’=yln(y/x)	y’’+y’tgx=sin2x
4 варіант	xy’+y=3	y’’+(1/x)y’=x2
5 варіант	xy’+xey/x-y=0	1+(y’)2+yy’’=0
6 варіант	y’cosx=(y+1)sinx	(1+y)y’’-5(y’)2=0
7 варіант	xy’-y=	xy’’+2y’=x3
8 варіант	x2y’-2xy=3	y’’tgy=2(y’)2
9 варіант	x2y’+y2-2xy=0	y’’-2y’tgx=sinx
10 варіант	xy’+y=x+1	3yy’’+(y’)2=0

Завдання № 3. Знайти окремий розв’язок диференціального рівняння

y’’+py’-qy=f(x), який задовольняє початковим умовам у(0)=у₀, y’(0)=y’₀.

	Рівняння	Початкові умови
1 варіант	y’’+4y’-12y=8sin2x	y(0)=0, y’(0)=0
2 варіант	y’’-6y’+9y=x2-x+3	y(0)=4/3, y’(0)=1/27
3 варіант	y’’+4y’=e-2x	y(0)=0, y’(0)=0
4 варіант	y’’-2y’+5y=xe2x	y(0)=1, y’(0)=0
5 варіант	y’’+5y’+6y=12cos2x	y(0)=1, y’(0)=3
6 варіант	y’’-5y’+6y=(12x-7)e-x	y(0)=0, y’(0)=0
7 варіант	y’’-4y’+13y=26x+5	y(0)=1, y’(0)=0
8 варіант	y’’-4y’=6x2+1	y(0)=2, y’(0)=3
9 варіант	y’’-2y’+y=16ex	y(0)=1, y’(0)=2
10 варіант	y’’+6y’+9y=10e-3x	y(0)=3, y’(0)=2

Завдання № 4. Дослідити збіжність числового ряду .

1 варіант	2 варіант	3 варіант	4 варіант	5 варіант
6 варіант	7 варіант	8 варіант	9 варіант	10 варіант

Завдання № 5. Подати функцію ω =f(z), де z=x+iy, у вигляді

ω =u(x, y)+iv(x, y). Перевірити чи є функція аналітичною. Знайти значення її похідної в заданій точці z₀.

1 варіант	ω = (iz)3, z0 = -1+i	6 варіант	ω = , z0 = i
2 варіант	ω = i(1-z2)-2z, z0 = 1	7 варіант	ω = , z0 = πi/3
3 варіант	ω = z3+3z-i, z0 = -i	8 варіант	ω = , z0 = π/6
4 варіант	ω = 2z2-iz, z0 = 1-i	9 варіант	ω = , z0 =
5 варіант	ω = z3+z2+i, z0 = 2i/3	10 варіант	ω = z, z0 = -1+ πi

Завдання № 6.

1. Знайти коефіцієнт розтягу і кут повороту для відображення в точціz=0.

2. Знайти множину точок, в яких коефіцієнт розтягу дорівнює 1 при відображенні

3. Яка частина площини стискається, а яка розтягується при відображенні

4. Знайти множину точок, в яких кут повороту дорівнює нулю при відображенні

5. Знайти коефіцієнт розтягу і кут повороту для відображення в точціz=i-1.

6. Знайти множину точок, в яких коефіцієнт розтягу дорівнює 1 при відображенні

7. Яка частина площини стискається, а яка розтягується при відображенні

8. Знайти множину точок, в яких кут повороту дорівнює нулю при відображенні

9. Знайти коефіцієнт розтягу і кут повороту для відображення в точціz=i.

10. Знайти множину точок, в яких коефіцієнт розтягу дорівнює 1 при відображенні

11. Яка частина площини стискається, а яка розтягується при відображенні

12. Знайти множину точок, в яких кут повороту дорівнює нулю при відображенні

13. Знайти коефіцієнт розтягу і кут повороту для відображення в точціz=i+1.

14. Знайти множину точок, в яких коефіцієнт розтягу дорівнює 1 при відображенні

15. Яка частина площини стискається, а яка розтягується при відображенні

16. Знайти множину точок, в яких кут повороту дорівнює нулю при відображенні

Завдання № 7. Дослідити на неперервність функцію

1 варіант		6 варіант
2 варіант		7 варіант
3 варіант		8 варіант
4 варіант		9 варіант
5 варіант		10 варіант

Завдання № 8.

	Обчислити	Обчислити інтеграл по контуру L	Обчислити інтеграл
1 варіант		, де L: відрізок AB, zA=0, zB=2+4i	, якщо а) L: б) L: в) L:
2 варіант		, де L - дуга AB параболи y=x2, zA=0, zB=2+4i	, якщо а) L: б) L: в) L:
3 варіант		, де L: відрізок AB, zA=0, zB=1+i	, якщо а) L: б) L: в) L:
4 варіант		, де L: дуга AB параболи y=x2, zA=0, zB=1+i	, якщо а) L: б) L: в) L:
5 варіант		, де L: відрізок AB, zA=0, zB=2+4i	, якщо а) L: б) L: в) L:
6 варіант		, де L: дуга AB параболи y=x2, zA=0, zB=2+4	, якщо а) L: б) L: в) L:
7 варіант		, де L: відрізок AB, zA=0, zB=1+i	, якщо а) L: б) L: в) L:
8 варіант		, де L: дуга AB параболи y=x2, zA=0, zB=1+i	, якщо а) L: б) L: в) L:
9 варіант		, де L: відрізок AB, zA=0, zB=2+4i	, якщо а) L: б) L: в) L:
10 варіант		, де L - дуга AB параболи y=x2, zA=0, zB=2+4	, якщо а) L: б) L: в) L:

Завдання № 9. Розкласти функцію f(z) в ряд Лорана в околі точки z₀ , визначити область збіжності цього ряду.

1 варіант	f(z) = , z0 =	6 варіант	f(z) = , z0 = 1
2 варіант	f(z) = sin, z0 = 1	7 варіант	f(z) = , z0 = 0
3 варіант	f(z) =, z0 = 0	8 варіант	f(z) =, z0 = 1
4 варіант	f(z) = , z0 = i	9 варіант	f(z) =- , z0 = i
5 варіант	f(z) = , z0 = 1	10 варіант	f(z) = , z0 = 3