УДК 537.8; 621.396

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ З КУРСУ

“Технічна електродинаміка”

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

для студентів заочного відділення

Приводиться зміст задач, приклади-роз’вязки докладно проаналізовані з урахуванням помилок студентів та проілюстровані графічно.

Вступ

Дисципліна "Технічна електродинаміка " є базовою для подальшого вивчення цілого ряду дисциплін при підготовці кваліфікованих інженерів-зв'язківців. Дуже важливе місце в структурі курсу займає виконання контрольної роботи, що згідно програми складається з двох завдань. При виконанні роботи студент отримує навички розрахунку характеристик електромагнітних хвиль в необмеженому середовищі, напрямляючих системах, зокрема - хвилеводах прямокутного перерізу.

Вимоги до студентів при виконанні контрольної роботи

Контрольні завдання складені для 100 варіантів. Кожен студент зобов'язаний виконати контрольну роботу, яка містить дві задачі. Варіант завдання визначається двома останніми цифрами номера залікової книжки: m - передостання, n - остання.

Виконуючи контрольну роботу, студент повинен дотримуватись наступних правил:

1. При виконанні розрахунку вказати його мету, навести посилання на джерело (номер літератури за списком) та номер формули.

2. Пояснити величини, що вводяться.

3. Написати загальну формулу, підставити числові значення відомих величин, привести результати проміжних обчислень та кінцевий результат. В проміжних обчисленнях розмірності величин не вказуються, а в кінцевому результаті - вказуються обов'язково.

4. Всі величини повинні виражатися в стандартних одиницях міжнародної системи одиниць CI.

5. Краще користуватись для запису результатів кратними та дольними одиницями. Наприклад, писати E=60 мВ/м замість E = 610^-2 В/м.

6. Всі проміжні обчислення слід проводити з такою кількістю значущих цифр, яка перевищує на одиницю мінімальну кількість значущих цифр у вихідних даних, (якщо ці дані не є точними числами) а результати проміжних обчислень повинні мати кількість значущих цифр на одиницю більше від вихідних даних.

7. Означення векторних величин слід супроводжувати рисунками, вказуючи напрям векторів.

8. Графіки будуються на міліметровому папері. Вони повинні мати стандартний масштаб, розмірності величин. Рисунки повинні бути розбірливими. Допускається графіки та таблиці значень, одержані на комп'ютері, роздруковувати на стандартному папері формату А4.

9. При виконанні контрольної роботи вкажіть номер залікової книжки та номер варіанту.

10. В кінці роботи привести список використаної літератури, поставити дату виконання роботи та власний підпис.

Контрольна робота Задача 1.

Плоска електромагнітна хвиля, поляризована в площині XOZ , поширюючись в вакуумі (середовище (1)) вздовж осі z, падає нормально на границю розділу із середовищем (2) з параметрами _a2 = ₂₀, _a2 = ₂₀, ₂ = 1 та ₂.

Амплітудне значення вектора напруженості магнітного поля у вакуумі: H_m1 = y₀H_m1.

Необхідно:

1) визначити характер середовища (2) (за обчисленим tg);

2) обчислити наступні параметри хвилі у середовищі (2): ₂, ₂, k₂ = ₂ - i₂, v_ф2, Z_c2 =  Z_c2exp(i₂) ;

3) користуючись граничними умовами для рівнянь Максвела, вивести формулу та обчислити амплітуду векторів напруженості електричного E_m2 та магнітного H_m2 полів в середовищі (2) в початку координат, який розмістити на границі розділу - z=0, в момент часу t = T;

4) записати комплексні E^₂, H^₂ та миттєві значення векторів E₂, H₂ в середовищі (2) в точці z = ₀, що відповідає зменшенню амплітуди поля на L Б в момент часу, що дорівнює періоду, а також середнє значення вектора Пойнтінга П_ср в цій точці;

5) побудувати залежності миттєвих значень векторів E₂, H₂ в точці z₀ = 0 від зміни часу t в межах одного періоду;

6) побудувати залежності миттєвих значень векторів E₂ H₂ в момент часу t, що дорівнює одному періоду, від зміни координати z для значень від z=0 до z = ₂ (₂ - довжина хвилі в середовищі (2)).

Вихідні дані приведені в табл.1.

Таблиця 1.

m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Hm1,мA/м	150	40	90	50	30	60	100	120	170	190
2	2.00	2.50	3.00	8.00	12.0	4.50	6.10	5.20	10.5	11.0
n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
f, МГц	10.0	25.0	35.0	45.0	110	400	600	250	310	15.0
2, мСм/м	3.00	15.0	5.00	4.00	1.00	5.00	2.00	1.50	8.00	9.00
L, дБ	1.00	10.0	12.0	3.00	5.00	8.00	11.0	21.0	14.0	2.00

При розв'язуванні задачі можна використати матеріал [3]; 9.1,9.2, 3; [3], 3, 5.1, 6.2; [5]; 3.5-3.7; [6];7.2.

В даному прикладі розв`язку задачі ми, як вихідну умову, будемо вважати заданими: E_m1=10.0 кB/м (замість H_m1), ₂=3.00, f=610 МГц, ₂=36.1 МCм/м, L=1.00 Б.

1). Визначимо характер середовища, обчисливши тангенс кута діелектричних втрат:

tg₂ = ₂/_a2, tg₂ = 36.110^-336/(26.110⁸310^-9)=0.3551, (1.1),

де  = 2f - кругова частота, ₂ - питома провідність середовища (2), _a2 = ₂₀, - абсолютна діелектрична проникність середовища (2), ₀ = 10^-9/36 Ф/м - діелектрична стала вакууму, ₂ - відносна діелектрична проникність середовища (2).

Враховуючи, що ₂ та ₂ задані з точністю до 3-х значущих цифр, а обчислення tg₂ - проміжне, в результаті зберігаємо 4-и значущі цифри.

Оскільки значення tg₂ порівняне з одиницею, середовище займає проміжне положення між провідниками та діелектриками, через що інші параметри будемо обчислювати за точними формулами. Відмітимо, що спрощення формул, приведених нижче, звичайно зводиться до того, що у випадку провідників - tg₂ >> 1, тобто (1+tg²)^1/2  tg, а для діелектриків tg² << 1 і, відповідно, (1+tg²)^1/2 - 1  (1/2)tg², a (1+tg²)^1/2 + 1  2.

2). Коефіцієнт затухання ₂ визначається за формулою

, (1.2)

де _a2 (₂) - абсолютна (відносна) магнітна проникність середовища (2), ₀ = 410^-7 Гн/м - магнітна проникність вакууму. Крім того, для нашої задачі ₂ = 1. Якщо врахувати, що швидкість світла у вакуумі с = (₀₀)^-1/2 = 310⁸ м/с = 300 Мм/с, отримаємо

(1/м) або (Нп/м)

Згідно ([3], ст.175) ₂ можна виразити в Б/м. При цьому необхідно врахувати зауваження [2]. Для цього ₂ в 1/м слід помножити на 20lg e, тобто на 8.6859. Тоді ₂=8.6591.29=11.21 Б/м.

Щоб уникнути плутанини, ми не рекомендуємо вважати 2 в (2) та інших формулах розмірною величиною (радіан - рад) і не писати рад як одиницю вимірювання. В цьому випадку в усіх формулах розмірності ₂ ,₂, k₂ будуть однаковими - 1/м, або Нп/м. Слід зауважити, що одиницю Непер (Нп) [10] допускається застосовувати до прийняття спеціального міжнародного узгодження про її скасування.

Коефіцієнт фази ₂ дорівнює:

, (1.3)

(1/м) або (Нп/м).

Значення хвильового вектору k₂ (для вибору множника exp(-ik₂z), що характеризує поширення плоскої хвилі дорівнює:

k₂ = ₂ - i ₂; k₂ = 22.46 - i 1.29 (1/м). (1.4)

Фазову швидкість v_ф2 плоскої монохроматичної хвилі можна розрахувати, знаючи ₂:

v_ф2 = /Re k₂=/₂, v_ф2 = 26.110⁸/22.46 = 171 Мм/с. (1.5)

Відповідь округлюємо до трьох значущих цифр.

Враховуючи, що, згідно (1), tg₂ залежить від частоти, v_ф2 також залежатиме від частоти. Графік цієї залежності зображено на рис.1.1. Це явище залежності v_ф2 від частоти називається дисперсією. Граничне значення v_ф2(f)c(₂₂)^-1/2.

Обчислимо хвильовий опір середовища (2) Z_c2, який в даному випадку є комплексною величиною, використовуючи формулу:

, (1.6)

де модуль Z_c2 і фаза ₂ відповідно дорівнюють

 Z_c2 = (_a2cos₂/₂)^1/2; ₂ = (1/2)arctg(tg₂) = ₂/2.

Знаючи tg₂, можна обчислити ₂. Тоді ₂ = 0.3412; ₂ = 0.1706; Z_c2 = 120(cos0.3412)^1/2 = 211.3 Ом.

Рис. 1.1

Залежність фазової швидкості v_ф2 (Мм/с) в ізотропному однорідному середовищі з діелектричною проникністю ₂ = 3.0 від частоти f ГГц та тангенсу діелектричних втрат - tg₂. Лінія 1 відповідає tg₂ = 0, 2 - tg₂ = 0.00361, 3 - tg₂ = 0.0361, 4 - tg₂ = 0.361, 5 - tg₂ = 3.61, 6 - tg₂ = 36.1. Верхня горизонтальна лінія відповідає граничному значенню v_ф2(f)c(₂₂)^-1/2=173.2 Мм/с.

3). За умовами задачі в середовищі (1) - вакуумі - існують поляризовані в площині XOZ падаюча E^_пm1=x₀E^_пm1exp(-ik₁z), H^_пm1=y₀(E^_пm1/Z₀)exp(-ik₁z) та відбита E^_вm1=x₀E^_вm1exp(ik₁z), H^_вm1=y₀(E^_вm1/Z₀)exp(ik₁z) електромагнітні хвилі з комплексними амплітудами векторів E^_пm1, H^_пm1, E^_вm1, H^_вm1. В середовищі (2) існує хвиля E^_m2=x₀E^_m2exp(-ik₂z), H^_m2=y₀(E^_m2/Z_с2)exp(-ik₂z), яка пройшла через границю розділу. В приведених виразах k₁, k₂ - хвильові числа електромагнітної хвилі в середовищах відповідно (1) та (2), Z₀=(₀/₀)^1/2 = 120  377 Ом, а Z_c2=(_c2/_c2)^1/2 - хвильовий опір середовища (2). Використовуючи граничні умови для тангенціальних складових полів, одержимо систему рівнянь

(E^_пm1 - E^_вm1)/Z₀ = E^_m2/Z_c2 ; E^_пm1+ E^_пm1 = E^_m2, (1.7)

з якої знаходимо :

E^_m2 = E^_пm1 2 Z_c2/( Z_c2+ Z₀) = E^_пm1 2/( 1+ Z₀/Z_c2)

При цьому ми враховуємо, що

,

де Z_c2, ₂ обчислені раніше.

Тепер можна записати, зробивши стандартні перетворення для комплексних чисел

2exp(i₂)/( 1+ Z₀/Z_c2) = aexp(i),

,

або

Остаточно одержимо

E^_m2= E^_пm1aexp(i), H^_m2= E^_пm1/Z_c2 = E^_пm1/Z_c2 aexp(i-₂/2). (1.8)

4). Bирази для комплексних та миттєвих значень векторів напруженостей електричного та магнітного полів мають наступний вигляд:

E^_m2= x₀ aE_пm1exp(-₂z-i₂z+i); (1.9)

H^_m2= y₀ aE_пm1/Z_c2exp(-₂z-i₂z+i(-₂/2)); (1.10)

E_m2= x₀ aE_пm1exp(-₂z)cos(t-₂z+); (1.11)

H_m2= y₀ aE_пm1/Z_c2exp(-₂z)cos(t-₂z+-₂/2). (1.12)

Обчислення дають наступні значення величин:

E^_m2= x₀17.19exp(-1.29z-i22.46z+i0.081) кВ/м;

H^_m2=y₀(17.19/211.3)exp(-1.29z-i22.46z+i0.081-i0.3412)=

y₀81.35 exp(-1.29z-i22.46z-i0.2602) A/м;

E^_m2= x₀17.19exp(-1.29z)cos(3.83310⁹t-22.46z+0.081) кВ/м;

H^_m2= y₀81.35exp(-1.29z)cos(3.83310⁹t-22.46z-0.2602) А/м.

На рис.1.2a приведена залежність миттєвих значень проекцій векторів E₂ та H₂ на осі x та y від часу t в точці z=z₀ (z₀ =0 для визначеності) на протязі періоду T=1/f, а на рис.1.2б - від координати z (при t=0 ), яка змінюється на відстані, що дорівнює довжині хвилі ₂=2/₂. Вказанo фазовий зсув між векторами E₂ та H₂, що на осі z дорівнює z=₂/2₂=0.3412/22.46=0.0152 м, а на осі t - t=₂/4f=0.3412/(261010⁶) = 0.089 нс.

Вектор Пойнтінга  є вектор, що перпендикулярний до E та H і напрямлений в бік поширення хвилі. Комплексний вектор Пойнтінга ^ дорівнює

^₂=(1/2)[E^₂H^*₂]; ^=z₀a²E²_m1/(2Z_c1)exp(-2₂z+i2-i₂/2), (1.13)

де H^*₂ - вектор, комплексно-спряжений до H^₂.

Середнє його значення:

_cp2=Re^₂= z₀a²E²_m1/(2Z_c1)exp(-2₂z)cos(₂/2), (1.14)

_cp2=z₀17.19²10⁸/(2211.3)exp(-21.29z)cos(0.3412/2) = z₀0.6589exp(-2.58) (МВт/м²).

4) Визначимо координату z, в якій амплітуда поля зменшується на L дБ. Відмітимо, що розраховане затухання дорівнює: ₂=11.21 Б/м. Обчислимо z=L/₂; z=1/11.21=0.08921 м. Для цієї координати тепер вирахуємо комплексні та миттєві значення векторів E^_m2, H^_m2, E_m2, H_m2, та _ср2:

E^_m2= x₀17.19exp(-1.290.08921-i(22.460.08921-0.081)) =

= x₀8.913exp(-i2.0032) кВ/м;

H^_m2= y₀81.35exp(-1.290.08921-i(22.460.08921+0.2602)) =

= y₀72.50exp(-i2.2642) А/м.

E_m2= x₀0.374 кВ/м; H_m2= y₀46.34 А/м;

_cp=z₀0.6589exp(-2.280.08921) МВт/м² = z₀0.5234 МВт/м².