Програма до екзамену

1. Основні поняття та задачі теорії диф. рівнянь (ДР). Існування розв’язку ДР першого порядку. Розв’язування ДР першого порядку з відокремлюваними змінними. Приклади.

2. Розв’язування однорідних ДР першого порядку. Приклади.

3. Розв’язування лінійних ДР першого порядку та рівнянь Бернуллі. Метод Лагранжа. Приклади.

4. Розв’язування лінійних ДР першого порядку та рівнянь Бернуллі. Метод варіації довільної сталої. Приклади.

5. ЛДР ІІ-го порядку. Властивості розв’язків ЛОДР.

6. Визначник Вронського. Критерій лінійної незалежності двох розв’язків ЛОДР.

7. Теореми про структуру загальних розв’язків ЛОДР і ЛНДР.

8. Розв’язування ЛНДР із сталими коефіцієнтами за виглядом правої частини. Приклади.

9. Розв’язування ЛНДР із сталими коефіцієнтами методом варіації довільної сталої. Приклади.

10. Числові ряди: основні поняття. Необхідна умова збіжності ряду. Приклади.

11. Достатні ознаки збіжності додатних числових рядів. (Ознаки порівняння, ознаки Коші, Д”Аламбера, інтегральна ознака). Приклади.

12. Знакозмінні числові ряди, види їх збіжності. Ознака Лейбніца. Приклади.

13. Степеневі ряди, їх область збіжності. Приклади. Теорема Абеля. Розклад функцій у степеневий ряд. Приклади.

14. Застосування степеневих рядів до наближених обчислень. Приклади.

15. Розклад 2π-періодичних функцій у ряд Фур’є. Приклади.

16. Криволінійні інтеграли першого роду, їх властивості. Приклади.

17. Криволінійні інтеграли другого роду, їх властивості. Незалежність криволінійного інтеграла від шляху інтегрування. Приклади.

18. Поверхневі інтеграли першого роду. Приклади.

19. Поверхневі інтеграли другого роду. Приклади.

20. Формула Гріна та її застосування. Приклади.

21. Формула Остроградського-Гауса та її застосування. Приклади.

22. Формула Стокса та її застосування. Приклади.

23. Різні форми представлення комплексних чисел. Дії над комплексними числами.

24. Функції комплексної змінної. Основні елементарні функції комплексної змінної: дробово-раціональна, показникова, тригонометричні, логарифмічні, обернені логарифмічні, загальна степенева і показникова функції.

25. Границя функції комплексної змінної у точці, на нескінченності. Теореми про границю суми, добутку, частки функцій комплексної змінної.

26. Неперервність функції комплексної змінної. Дослідження неперервності основних елементарних функцій (приклади).

27. Похідна та диференціал. Властивості похідної. Критерій диференційованості функції комплексної змінної (ФКЗ). Аналітичність. Гармонічна функція. Приклади.

28. Диференціювання ФКЗ. Геометричний зміст модуля та аргумента похідної ФКЗ.

29. Інтеграл функції комплексної змінної. Властивості інтеграла. Приклади.

30. Теорема Коші для однозв’язної та багатозв’язної областей. Наслідки.

31. Невизначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца. Інтегральна формула Коші та її застосування. Приклади.

32. Числові ряди: основні означення. Ознаки збіжності числових рядів (порівняння, Д’Алабера, Коші). Властивості числових рядів. Приклади.

33. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Основні властивості степеневих рядів.

34. Ряди з комплексними числами. Ряди Тейлора та Лорана. Розклад ФКЗ в ряди. Дослідження збіжності числових і степеневих рядів, рядів Тейлора та Лорана, особливих точок. Нулі функції.

35. Класифікація ізольованих особливих точок: усувні та полюси. Дослідження.

36. Ряд Тейлора і ряд Лорана. Розклад функцій комплексної змінної у ряд Тейлора і ряд Лорана.

37. Лишки, знаходження лишків.

38. Обчислення інтегралів з використанням основної теореми про лишки. Обчислення невласних інтегралів.