5.4.1. Эмпирическая функция распределения Fэ(х)

Эмпирическая функция распределения имеет смысл долей объема упорядоченной выборки со значениями, не превышающими растущий параметр Х.

F_э(х) меняется от 0 до 1 при росте параметра Х от х_min до х_max.

Функция F_э(х) совместно с F_т(х) является средством исследования статистических ансамблей (партий). Применяются F_э(х) и F_т(х) совместно, поскольку необходимым условием во всех задачах являются оценки адекватности.

F_э(х) представляется в табличной форме или графически как зависимость от аргумента Х долей упорядоченной выборки, включающих в себя значения, не превышающие Х.

Рис. 24. Построенная функция Fэ(х) (см. гистограмму на рис. 21).

На поле графика откладываются точки, число которых равно объему выборки.

Сначала все значения откладываются под параметрической осью, также как в гистограммах. Далее моделируют рост Х, например, перемещая лист бумаги, открывают точки, начиная с х_min. Доля открывшихся точек отмечается соответствующей ординатой по масштабу вертикальной оси. Каждая точка добавляет долю 1/n, а последняя – на уровне х_max 1-1/n; чтобы оценки не были смещенными, координаты ищут справа и слева сводя ошибку к центру.

Рис. 25. Построение функции Fэ(х) (сведение ошибки в центр).

Здесь ni – доля открывшихся точек.

На поле графика рисуют ступеньки или просто точки – в зависимости от вкусов исполнителя (см. рис. 24). Главная особенность F_э(х) – отсутствие методических погрешностей. Абсцисса каждой точки равна измерению. Число точек на графике равно числу измерений, которые удалось отличить от ближайших к ним значений. Именно поэтому F_э(х) используется в статистических задачах в которых нужно минимизировать погрешность расчетов.

Масштаб вертикальной оси иногда выбирается линейный. Строить функции распределения можно в любом масштабе, однако для последующих графических расчетов необходимо соблюсти «метрические» условия.

В линейном масштабе точки будут укладываться на некую кривую, которую трудно соотнести со статистическими мерами. Сравнение таких кривых между собой неосуществимо в численной форме. Такие кривые обладают лишь зрелищными признаками и в этом плане похожи на гистограммы или полигоны.

Доступность статистическим расчетам, достаточным для решения производственных задач, включая маркетинговые, имеет место при использовании вероятностных масштабов вертикальной оси т.е. в вероятностных графиках.

5.5. Вероятностные графики

Вертикальный масштаб вероятностного графика рассчитан таким образом, чтобы любая прямая на поле графика представляла собой теоретическую функцию F_т(х). Такие масштабы есть в справочной литературе или могут быть рассчитаны для любого известного распределения.

Равные интервалы вертикального масштаба представляют равные части меры рассеивания. Размер вертикальной шкалы указывают в числе мер рассеивания – вместе с длиной.

Общим для всех вертикальных масштабов является наличие в качестве начала отсчета меры центра группирования – уровня 0,5 для симметричных распределений и уровня 0,632 или аналогичного для несимметричных распределений. Вниз от этого уровня значения стремятся к нулю, а вверх – к единице.

Для массового применения размножаются типографским способом бланки с вероятностным масштабом – вероятностная бумага. В России вероятностные графики не прижились, а масштабы являются библиографической редкостью. В итоге многие специалисты пользуются статистическими данными, воспринимая их как детерминированные однозначные показатели. Повсеместно подменяют статистические меры, привнося грубейшие ошибки, особо опасные при оценках прочности и надежности.

Известны прикладные программы для построения вероятностных графиков. Пользование ими предполагает режим диалога, т.е. оператору никак не избежать соучастия в формировании функций распределения. Без «бумажного» графика не обойтись, прежде всего, для приобретения опыта. Вероятностную бумагу можно напечатать, используя иллюстрации из справочников. Однако, у пользователя этой бумаги проявится ее недостаток, суть которого в неизменности масштаба, для всех, самых разных выборок.

Названный недостаток устраняется, если вертикальный масштаб будет нанесен на рейсшину или любое подручное чертежное средство для изображения параллельных прямых. Это позволит изображать графики на любой бумаге и, главное, менять размер вертикальной оси наклоном линейки с масштабом. Надо лишь не забыть о метках, фиксирующих избранное положение вертикальной шкалы на бумаге. Шкалу двигают вверх и вниз, поворачивают, пока экстремальные точки будущего графика не станут вершинами квадрата со сторонами, параллельными осям.

Вертикальные масштабы для двух теоретических функций распределения приведены в приложении 2 (рис. 82). Оба масштаба были рассчитаны по программам, составленным применительно к интерполяционным задачам. Нелинейностью масштаба между соседними делениями можно пренебречь, т.е. делить их на любое число равных участков по аналогии с линейной шкалой. Методическая погрешность при этом будет пренебрежимо малой, даже недоступной расчету на ЭВМ.

Построение вероятностного графика начинают, как уже говорилось, размещением точек под горизонтальной осью и обозначением экстремальных величин х_max и х_min, задающих размер по горизонтали. Горизонтальный масштаб должен быть линейным, если отношение х_min/х_max меньше единицы. Если х_min и х_max различаются более чем на порядок, нужен логарифмический масштаб.

Размер графика по вертикали должен обеспечить угол построений с осями, примерно, 45.

Линейку с масштабом поворачивают так, чтобы размер соответствовал экстремальным квантилям. Если, к примеру, объем выборки n = 200 то х_min соответствует 0,005, а х_max – уровню 0,995 по вертикали. Координаты этих точек по обеим осям примерно равны.

Эмпирическая функция F_э(х) строится при смещении линейки с масштабом параллельно горизонтальной оси, начиная с х_min и до уровня 0,5. Каждая точка из выборки добавляется к предыдущим «ступенькам» на графике 1/n; затем линейку двигают справа налево, начиная с x_max. Каждая точка убавляет от предыдущей ступеньки 1/n, начиная с уровня 1- 1/n для х_max, вплоть до уровня 0,5. Можно шкалу оставить неподвижной, а смещать лист бумаги с указанными правилами. Во всех вариантах на поле графика отмечаются деления с линейки, достаточные для считывания информации. Точки или вершины ступенек эмпирической функции F_э(х) размещаются в окрестности диагонали квадрата, образуемого осями. Взаиморасположение осей выбирается произвольно, поскольку привычных нулей на осях здесь нет.

Логарифмический масштаб горизонтальной оси строится с помощью калькулятора или старинной логарифмической линейки, прикладываемой под углом к оси так, чтобы ее проекция уложилась между значениями 1 и 10 (0,3 и 3 или т.п.).

Следующим этапом является выбор статистической гипотезы, т.е. построение прямой F_т(х) по F_э(х). Прямую надо проводить так, чтобы точки оказывались поочередно выше и ниже, или, по крайней мере, минимизировать число точек, которые остаются с одной стороны подряд.

а) б)

Рис. 26. Построение функции Fт(х) по точкам функции Fэ(х):