1.8 Примеры решения типовых задач.

Пример 1. Исследовать сходимость интеграла .

Функция на промежутке имеет одну особую точку . Воспользуемся определением несобственного интеграла - не существует расходится.

Пример 2. Исследовать сходимость и вычислить ( в случае сходимости ) интеграл .

Пример 3. Исследовать сходимость .

Заметим, что так как подынтегральная функция рациональна, то её первообразная выражается элементарной функцией. Но вычисление первообразной здесь громоздко и для ответа на вопрос воспользуемся не определением несобственного интеграла, а признаком сравнения, так как подынтегральная функция положительна. Так как особой точкой является , интеграл сходится и , то в силу признака сравнения исходный интеграл сходится.

Пример 4. Исследовать сходимость интеграла .

Функция имеет на промежутке интегрирования две особые точки и . Следовательно необходимо рассмотреть сходимость каждого из интегралов и . Воспользуемся признаком сравнения ; . Так как оба интеграла и сходятся, то сходится и исходный.

Пример 5. Исследовать сходимость интеграла .

Подынтегральная функция имеет на промежутке две особые точки и . Разобьем наш интеграл на два . Так как и сходится, то сходится . Так как и расходится, то расходится. Следовательно, исходный интеграл расходится.

Пример 6. Исследовать сходимость интеграла .

Особая точка . Так как при , то при достаточно малых имеет место оценка . Подберём так, чтобы . Тогда интеграл от «большей» функции будет сходится. По признаку сравнения исходный интеграл сходится.

Пример 7. Исследовать абсолютную или условную сходимость интеграла .

Функция имеет на одну особую точку , является знакопроизвольной. Исследуем сходимость интеграла по признаку Дирихле. -ограничена на , функция -монотонно убывает слева в точке , так как при и . Итак, в силу признака Дирихле, интеграл сходится.

Для исследования абсолютной сходимости данного интеграла воспользуемся оценкой . Имеем

.

Дословно повторяя приведённые выше рассуждения, получим, что интеграл сходится. Так как , то по признаку сравнения расходится. Следовательно, интеграл расходится и исходный интеграл сходится условно.

Пример 8. Исследовать на сходимость несобственные интегралы

а) сходится.

б) расходится.

в) сходится.

г) , (где , так как при достаточно большом значении верна оценка )

Подберём так, чтобы (тогда интеграл от «большей» функции будет сходящимся). При данный интеграл сходится.

д) и интеграл от «меньшей» функции расходится исходный интеграл расходится.

е) сходится.

«Большая» функция , интеграл от неё сходится исходный интеграл сходится.

ж) . Подберём так, чтобы (тогда интеграл от «меньшей» функции будет расходящимся). При данный интеграл расходится.

з) . Особая точка , так как .

интеграл сходится.

и) . Исследуем на сходимость каждый интеграл.

первый интеграл сходится.

. Исследуем на сходимость интеграл . Сделаем замену в интеграле второй интеграл сходится.

Следовательно, исходный интеграл сходится.