302-92-55 Министерство образования и науки Украины

Донецкий национальный университет

Г.А. Попова, И.В. Гридасова, В.И. Пайков

Несобственные интегралы и ряды Фурье

Донецк 2010

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Г.А. Попова, И.В. Гридасова, В.И. Пайков

Несобственные интегралы и ряды Фурье

(для студентов II курса дневной формы обучения по специальности

«Прикладная математика» и студентов I курса дневной формы

обучения по специальности «Информатика»)

Составители: Г.А. Попова И.В. Гридасова В.И. Пайков

Утверждено на заседании кафедры математического анализа и теории функций протокол № от 2010

Донецк ДонНУ 2010

ББК 22.161.5

УДК 517.5

Несобственные интегралы и ряды Фурье (для студентов II курса дневной формы обучения по специальности «Прикладная математика» и студентов I курса дневной формы обучения по специальности «Информатика») / сост. Г.А. Попова, И.В. Гридасова, В.И. Пайков. - Донецк: ДонНУ, - 2010 - 59 с.

Кратко изложен теоретический материал по теме «Несобственные интегралы и ряды Фурье», приводится индивидуальное задание, примеры решения задач, образец контрольной работы.

Для студентов II курса дневной формы обучения по специальности «Прикладная математика» и студентов I курса дневной формы обучения по специальности «Информатика»

Составители: Г.А. Попова, доц.

И.В. Гридасова, аст.

В.И. Пайков, доц.

Ответственный за выпуск: Р.В. Макушина, доц.

© ДонНУ, 2010 © Г.А. Попова, И.В. Гридасова, В.И. Пайков, 2010

Рабочая программа

1. Определение несобственных интегралов.

2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов.

3. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.

4. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признаки сравнения.

5. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки Абеля и Дирихле.

6. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Свойства, непрерывность, интегрирование и дифференцирование по параметру.

7. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Сходимость. Критерий Коши. Равномерная сходимость, критерий.

8. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости.

9. Интегрирование и дифференцирование несобственных интегралов. Применение этих свойств к вычислению некоторых интегралов.

10. Гамма-функция и бета-функция. Их основные свойства. Вычисление параметров, сводящихся к гамма- и бета-функциям.

11. П.Ортонормированные системы в эвклидовых пространствах. Ряды Фурье по ортонормированным системам.

12. Минимальное свойство коэффициентов Фурье, неравенство Бесселя. Полнота и замкнутость ортонормированной системы. Равенство Парсеваля.

13. Тригонометрические ряды Фурье. Интеграл Дирихле. Принцип локализации. Условия поточечной сходимости ряда Фурье.

14. Разложение в ряд Фурье периодических, четных и нечетных функций. Разложение в ряд функций, заданных на отрезке.

15. Равномерная сходимость, почленное дифференцирование и интегрирование ряда Фурье.

16. Интеграл Фурье. Представление функции интегралом Фурье.

17. Преобразование Фурье. Формулы Фурье.

Список рекомендуемой литературы

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа./ Л.Д. Кудрявцев - М., Высшая школа , 1988.

2. Ильин В.А. Курс математического анализа./ В.А. Ильин, В.А. Садовничий Т. 1-2. -М., Наука , 1979.

3. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу./ Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов Т. 1-3. - М., Наука , 1979.

4. Демидович Б.П. Сборник задач по математическому анализу./ Б.П. Демидович. Учебное пособие. - М., Наука , 1979.

Предисловие

В учебном пособии приводится материал по математическому анализу, изучаемый на практических занятиях в IV семестре студентами II курса математического факультета специальности «Прикладная математика» и во II семестре студентами I курса специальности «Информатика».

В начале каждой главы даются основные теоретические сведения: определения, формулировки важнейших теорем и основные формулы, которые необходимо знать студенту.

В разделе «Контрольные вопросы и задания» содержатся вопросы по теории и упражнения, которые хорошо иллюстрируют то или иное теоретическое положение, устанавливают связь между изученными понятиями. Отвечая на эти вопросы и выполняя предложенные задания, студент может сам проконтролировать усвоение теоретического материала.

Завершают каждую главу «Примеры и решения типовых задач». В этом разделе даются рекомендации и приводятся решения стандартных задач, предлагаются задачи для самостоятельного решения из сборника задач.

В конце пособия приведены варианты индивидуального задания. Индивидуальное задание должно быть оформлено аккуратно, решение каждой задачи должно сопровождаться краткими пояснениями.

Глава 1. Несобственные интегралы

1.1. Понятие несобственного интеграла от неограниченной функции

О пределение 1.1. Пусть определена на промежутке ,интегрируема на любом отрезке и неограниченна в любой левосторонней окрестности точки . Точка в этом случае называется особой точкой .

Если существует

(1),

то этот предел называется несобственным интегралом функции на промежутке и обозначается

.

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция интегрируема в несобственном смысле на промежутке .

Если предел (1) не существует, то говорят, что интеграл расходится, а функция неинтегрируема в несобственном смысле на промежутке .

Аналогично, если неограниченна справа от точки , то

.

Наконец, если функция в окрестности внутренней точки из отрезка неограниченна, то по определению

.

Для непрерывной неотрицательной функции , сходящийся несобственный интеграл равен площади неограниченной криволинейной трапеции.

1.2. Понятие несобственного интеграла по неограниченному промежутку

Определение 1.2. Пусть определена для всех и интегрируема на любом отрезке . Тогда называется несобственным интегралом от в пределах от до и обозначается . Аналогично определяются интегралы и .

Таким образом,

,

где - некоторое число.

Если приведенные пределы существуют и конечны, то соответствующие интегралы называются сходящимися. В противном случае интегралы называются расходящимися.

Определение 1.1 и определение 1.2 удобно объединить, обозначив через

.

1.3. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов

1. Линейность интеграла. Если несобственные интегралы , сходятся, то для любых чисел и сходится интеграл , причем .

2. Формула Ньютона-Лейбница. Если функция имеет на этом промежутке первообразную и существует , тогда (1)

3. Формула замены переменной. Пусть -непрерывная, а -непрерывно-дифференцируемая функции, причем ,тогда

(2).

В равенстве (2) один из интегралов может быть собственным. Формула (2) справедлива в случае сходимости, по крайней мере, одного из двух входящих в нее интегралов. В случае расходимости одного из интегралов расходится и другой.

4. Формула интегрирования по частям. Если и непрерывно дифференцируемые функции и существует , то

(3),

где .

1.4. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.

Формула (3) справедлива в случае сходимости, по крайней мере, одного из двух входящих в нее интегралов. В случае расходимости одного из интегралов расходится и другой.

5. Аддитивность интеграла. Для любого числа

, причем в этом равенстве оба несобственных интеграла либо сходятся, либо расходятся.

1.4. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

Пусть определена на и на любом отрезке интегрируема в собственном смысле. Интеграл сходится тогда и только тогда, когда для любого существует число такое, что при любых и выполняется неравенство

.