- •Многочлени та їх властивості
- •1. 1. Загальні поняття про симетричний многочлен
- •1. 2. Властивості симетричних многочленів
- •Застосування симетричних многочленів
- •2.1.Розв’язування систем рівнянь
- •2. 2. Доведення тотожностей
- •Вирази степенeвих сум через
- •Вирази степеневих сум через при виконанні умови
- •Вираження орбіт o( ) через
- •2. 3. Звільнення від ірраціональності
- •2. 4. Вилучення коренів
- •Висновок
- •Список використаних джерел
Застосування симетричних многочленів
2.1.Розв’язування систем рівнянь
Дуже часто зустрічаються системи рівнянь, ліві частини яких симетрично залежать від невідомих x, y. В цьому випадку зручно перейти до нових невідомих . За основною теоремою теорії симетричних многочленів, це завжди можливо. Необхідність такої заміни невідомих полягає в тому, що степені рівнянь після заміни зменшуються (оскільки є многочленом другої степені від ). Іншими словами, як правило, розв’язування системи відносно нових невідомих простіше, ніж розв’язування первинної системи.Після того, як знайдені значення величин , треба знайти значення первинних невідомих . Це може бути зроблено за допомогою наступної теореми
Теорема. Нехай два довільні числа. Квадратне рівняння
(*)
і система рівнянь
(**)
пов'язані один з одним таким чином: якщо z1, z2 – корeні квадратного рівняння (*), то система (**) має два розв’язки:
інших розв’язків не має; якщо = , y = b - розв’язки системи (**), то числа є коренями квадратного рівняння (*).
Доведення. Якщо z1 і z2 – корeні квадратного рівняння (*), то за формулами Вієта
тобто числа
є розв’язками системи (**). Те, що інших розв’язків система (**) не має, випливає з останнього твердження теореми, яке ми зараз доведемо.
Отже, нехай = , y = b - розв’язки системи (**), тобто
+ b , b =
Тоді ми маємо
Це означає, що числа являються коренями квадратного рівняння (*). Теорема доведена.
Наведемо приклади.
Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь
Введемо нові невідомі знаходимо:
а тому для нових невідомих отримуємо наступну систему рівнянь:
З цієї системи рівнянь отримуємо .Отже, , тобто для початкових невідомих ми отримуємо наступну систему рівнянь :
Ця система рівнянь легко розв’язується, і ми отримуємо наступний розв’язок початкової системи:
Приклад 2. Розв’язати систему рівнянь
Розв’язання проводиться аналогічно. Вважаючи, що зводимо початкову систему до вигляду
Звідси для отримуємо квадратне рівняння
або .
З цього рівняння знаходимо два значення для :
Таким чином, для первинних невідомих отримуємо дві системи рівнянь:
і
Розв’язавши ці системи, знаходимо чотири розв’язки первинної системи:
2. 2. Доведення тотожностей
У ряді завдань на доведення тотожності також можуть бути застосовані елементарні симетричні многочлени.За основною теоремою симетричних многочленів, кожну степеневу суму можна представити у вигляді многочлена від .
Таблиця 2. 1
Вирази степенeвих сум через
|
|
|
… |
3
9 +6 +7 ………………………………………………………….. |
|
|
|
|
|
Кожну степеневу суму можна представити у вигляді многочлена від за умови, що .
Таблиця 2.2