Застосування симетричних многочленів

2.1.Розв’язування систем рівнянь

Дуже часто зустрічаються системи рівнянь, ліві частини яких симетрично залежать від невідомих x, y. В цьому випадку зручно перейти до нових невідомих . За основною теоремою теорії симетричних многочленів, це завжди можливо. Необхідність такої заміни невідомих полягає в тому, що степені рівнянь після заміни зменшуються (оскільки  є многочленом другої степені від ). Іншими словами, як правило, розв’язування системи відносно нових невідомих простіше, ніж розв’язування первинної системи.Після того, як знайдені значення величин  , треба знайти значення первинних невідомих . Це може бути зроблено за допомогою наступної теореми

Теорема. Нехай  два довільні числа. Квадратне рівняння

(*)

і система рівнянь

 (**)

пов'язані один з одним таким чином: якщо z₁, z₂ – корeні квадратного рівняння (*), то система (**) має два розв’язки:

 

інших розв’язків не має; якщо = , y = b - розв’язки системи (**), то числа є коренями квадратного рівняння (*).

Доведення. Якщо z₁ і z₂ – корeні квадратного рівняння (*), то за формулами Вієта

тобто числа

 

є розв’язками системи (**). Те, що інших розв’язків система (**) не має, випливає з останнього твердження теореми, яке ми зараз доведемо.

Отже, нехай = , y = b - розв’язки системи (**), тобто

+ b , b =

Тоді ми маємо

Це означає, що числа являються коренями квадратного рівняння (*). Теорема доведена.

Наведемо приклади.

Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь

Введемо нові невідомі знаходимо:

а тому для нових невідомих отримуємо наступну систему рівнянь:

З цієї системи рівнянь отримуємо  .Отже,  , тобто для початкових невідомих ми отримуємо наступну систему рівнянь :

Ця система рівнянь легко розв’язується, і ми отримуємо наступний розв’язок початкової системи:

Приклад 2. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання проводиться аналогічно. Вважаючи, що  зводимо початкову систему до вигляду

Звідси для  отримуємо квадратне рівняння

або .

З цього рівняння знаходимо два значення для  :

Таким чином, для первинних невідомих отримуємо дві системи рівнянь:

і

Розв’язавши ці системи, знаходимо чотири розв’язки первинної системи:

  

2. 2. Доведення тотожностей

У ряді завдань на доведення тотожності також можуть бути застосовані елементарні симетричні многочлени.За основною теоремою симетричних многочленів, кожну степеневу суму можна представити у вигляді многочлена від .

Таблиця 2. 1

Вирази степенeвих сум через

			…	3 9 +6 +7 …………………………………………………………..

Кожну степеневу суму можна представити у вигляді многочлена від  за умови, що  .

Таблиця 2.2