3. Магнитное поле в веществе
Основные формулы
Вектор магнитной индукции в магнетике
;
(31)
где
–
вектор магнитной индукции внешнего
магнитного поля;
–
вектор
магнитной индукции собственного поля
магнетика.
Вектор магнитной индукции собственного магнитного поля пара- и диамагнетика:
,
(32)
где
–
магнитная восприимчивость вещества
Магнитная проницаемость вещества
(33)
Вектор намагничивания (намагниченность)
,
(34)
где
–
элементарный объем магнетика;
–
магнитные моменты отдельных молекулярных
токов;
–
число молекулярных токов в объеме
.
Напряженность магнитного поля
(35)
Связь между намагничиванием и напряженностью магнитного поля
(36)
Циркуляция вектора напряженности магнитного поля в веществе:
,
(37)
где
–
магнитная постоянная;
–
полный макроскопический ток через
контур
.
Взаимосвязь
между вектором магнитной индукции
и
напряженностью поля
:
(38)
Методические рекомендации
1.
Расчеты магнитных полей при наличии
магнитных сред можно значительно
упростить, если ввести вектор напряженности
.
Особенностью вектора
является
то, что его циркуляция не зависит от
магнитных свойств среды, через которую
проходит выбранный контур. Поэтому при
расчете магнитной цепи необходимо в
качестве контура интегрирования выбрать
одну из силовых магнитных линий, идущих
вдоль магнитной цепи.
2. Вектор напряженности магнитного поля в общем случае зависит от магнитных свойств среды. При решении задач на расчет магнитных полей в катушках с железным сердечником, имеющим воздушный зазор, нужно учитывать, что напряженность магнитного поля и в воздушном зазоре, и в сердечнике зависит от силы тока и магнитной проницаемости железа.
Вектор не зависит от магнитных свойств среды только в двух случаях – когда сердечник электромагнита тор или бесконечно длинный стержень.
3.
Формула
устанавливает
взаимосвязь между векторами
и
только
в случае диа- и парамагнетиков. Магнитная
проницаемость ферромагнетиков зависит
от магнитного поля внутри вещества,
являясь величиной переменной. Зависимость
от
будет
нелинейной. Для расчета магнитных полей
в случае ферромагнетика необходимо
применять экспериментальные кривые
намагничивания железа и др. ферромагнетиков
(прил. 1).
Примеры решения задач
Пример
1. В
однородное магнитное поле индукцией
вносится
стержень магнетика с магнитной
проницаемостью
.
Найти магнитную индукцию
поля,
создаваемого молекулярными токами.
Решение
Магнитная
индукция поля молекулярных токов
,
где
–
магнитная постоянная;
–
намагниченность магнетика.
Намагниченность и напряженность поля связаны соотношением
,
где
–
магнитная восприимчивость;
,
–
магнитная проницаемость магнетика.
Из
формулы
следует
.
Следовательно,
Пример
2. На
железном сердечнике в виде тора со
средним диаметром
=
70 мм намотана обмотка с общим числом
витков
=
600.
В сердечнике имеется зазор
шириной
=
1,5 мм (рис. 41). При силе тока через обмотку
|
|
,
тогда
.
=
4 А магнитная индукция в прорези
=1,5
Тл. Найти магнитную проницаемость
железа при этих условиях.
Решение
Согласно теореме о циркуляции вектора :
,
(а)
где – алгебраическая сумма токов проводимости, охватываемых контуром.
В
качестве контура интегрирования выберем
окружность диаметром
.
Тогда уравнение (а) можно записать в
виде:
,
где
и
–
напряженности магнитного поля в железе
и зазоре;
–
число витков тороида.
Магнитные
индукции поля в железе и зазоре одинаковы:
.
;
,
тогда 
,
откуда следует
.
Вычисления дают = 428.
Пример
3. Тороид
с железным ненамагниченным сердечником,
длина которого по средней линии
=
1 м, имеет воздушный зазор
=
3 мм. По обмотке тороида, имеющей 1300
витков, пустили ток в результате чего
индукция в зазоре стала
=
1 Тл. Определить силу тока.
Решение
По теореме о циркуляции вектора :
.
(а)
В
качестве контура интегрирования выбираем
среднюю линию тороида. Тогда уравнение
(а) запишем в виде:
,
где
–
напряженность магнитного поля в железе;
–
напряженность магнитного поля в зазоре.
Напряженность поля и индукция связаны соотношением
.
Учитывая,
что магнитная проницаемость воздуха
=
1, то
.
Воздушный
зазор в тороиде узкий, поэтому рассеянием
линий индукции можно пренебречь. Значит
через любое поперечное сечение тороида
(как в железном сердечнике, так и в
воздушном зазоре) проходит один и тот
же магнитный поток, т. е.
,
;
.
Магнитная
проницаемость железа в данном случае
неизвестна, поэтому для нахождения
воспользуемся
графиком зависимости
.
Для
=
1Тл
.
Сила
тока
будет
;
.
Пример
4. После
выключения тока в обмотке тороида с
железным ненамагниченным сердечником,
имеющим воздушный зазор, остаточная
индукция в зазоре стала
=
4,2м Тл. Определить остаточную намагниченность
сердечника.
Длина железного сердечника по средней
линии 
=
1 м, длина воздушного зазора
=
3 мм.
Решение
Применяем
теорему о циркуляции вектора
:
,
(
по условию). (а)
Применив
в качестве контура интегрирования
среднюю линию тороида, запишем уравнение
(а) в виде:
.
(
для воздуха).
Выразим
из
(а):
,
где «-» показывает, что векторы и в намагниченном железе при направлены противоположно.
Остаточная
намагниченность железа
;
в
скалярном виде:
.
.
Задачи для самостоятельного решения
1. Тороид с железным ненамагниченным сердечником, длина которого по средней линии = 100 см, имеет воздушный зазор = 3 мм. По обмотке тороида, содержащей = 1300 витков, пропускают ток силой = 2А. Определить магнитную индукцию в зазоре.
(Ответ: = 1 Тл).
2. Железный образец помещен в магнитное поле, напряженность которого 796 А/м. Найти проницаемость железа при этих условиях.
(Ответ:
=
1400).
3.
Сколько
ампер-витков потребуется для создания
магнитного потока в
Вб
в соленоиде с железным сердечником
длиною 120 см и площадью поперечного
сечения
?
(Ответ: = 900 А∙ вит).
4. Длина железного сердечника тороида равна 2,5 м, длина воздушного зазора 1 см. Число витков в обмотке тороида равно 1000. При силе тока в 20 А индукция магнитного поля в воздушном зазоре равна 1,6 Тл. Определить магнитную проницаемость железного сердечника при этих условиях (зависимость В от Н для данного сорта железа неизвестна).
(Ответ: =440).
5. На железное кольцо намотано в один слой = 500 витков провода. Средний диаметр кольца равен 25 см. Определить магнитную индукцию в железе и магнитную проницаемость железа, если сила тока в обмотке 2,5 А.
(Ответ: = 1,4Тл; =700).
6.
Соленоид
намотан на чугунное кольцо сечением
.
При силе тока
=
1 А магнитный поток
=
250 мкВб. Определить число витков,
приходящихся на отрезок длиной 1 см
средней линии кольца.
(Ответ:
).
7.
Длина
железного сердечника тороида равна 1
м, длина воздушного зазора – 1 см. Сколько
ампер-витков необходимо для создания
магнитного потока 1,4 мВб, если площадь
поперечного сечения сердечника равна
,
а магнитная проницаемость материала
сердечника – 800.
(Ответ:
).
8. Определить магнитную индукцию в замкнутом железном сердечнике тороида длиной 20,9 см, если сила тока в обмотке 1 А, число витков равно 1800. Найти магнитную проницаемость материала сердечника при этих условиях.
(Ответ: = 1,8Тл; = 200).
9. Электромагнит изготовлен в виде тороида. Сердечник тороида со средним диаметром 51 см имеет воздушный зазор длиной 2 мм. Обмотка тороида равномерно распределена по всей длине. Во сколько раз уменьшится индукция магнитного поля в зазоре, если, не изменяя силы тока в обмотке, зазор увеличить в 3 раза? Рассеянием магнитного поля вблизи зазора пренебречь. Магнитную проницаемость сердечника считать равной 800.
(Ответ: в 2 раза).
10.
Длина
железного сердечника тороида
,
длина воздушного зазора
.
Число витков в обмотке тороида 2000. Найти
напряженность магнитного поля в воздушном
зазоре при силе тока 1А в обмотке тороида.
(Ответ:
=
).
11. Магнитная индукция на оси тороида равна 1,25 Тл. Тороид состоит из двух частей: железной и никелевой. Средний радиус тороида 20 см, длина никелевой части сердечника 50 мм. Число витков тороида 1000, сила тока 1 А, магнитная проницаемость железной части сердечника 800. Определить напряженность магнитного поля в железной части сердечника и магнитную проницаемость никеля в этих условиях.
(Ответ: = 1500 А/м; = 99).
12.
Длина
железного сердечника тороида
,
длина воздушного зазора
.
Число витков в обмотке
=
1000. Определить индукцию магнитного поля
в воздушном зазоре при силе тока 20 А.
Магнитная проницаемость железа в этих
условиях равна 440. (Зависимость
для
данного сорта железа неизвестна).
(Ответ: = 1,6 Тл).
13.
Внутри
соленоида длиной 25,1 см и диаметром 2 см
помещен железный сердечник. Соленоид
имеет 200 витков. Построить для соленоида
с сердечником график зависимости
магнитного потока
от
силы тока
в
пределах
5
А через 1 А. По оси ординат откладывать
∙
Вб.
14. Длина чугунного тороида по средней линии равна 1,2 м, площадь сечения 20 см2. По обмотке тороида течет ток, создающий в узком вакуумном зазоре магнитный поток 0,5 мВб. Длина зазора 8 мм. Какова должна быть длина зазора, чтобы магнитный поток в нем при той же силе тока увеличился бы в 2 раза?
(Ответ:
).
15.
По
круговому контуру радиусом 20 см,
погруженному в жидкий кислород (магнитная
восприимчивость жидкого кислорода
),
течет ток. Определить силу тока в контуре,
если намагниченность в его центре
составляет 3,4 мА/м.
(Ответ: =0,4 А).
16.
Напряженность
однородного магнитного поля в алюминии
(магнитная восприимчивость алюминия
)
равна 10 А/м. Определить магнитную индукцию
поля, обусловленную намагничиванием.
(Ответ: = 289 пТл).
17.
Молекула
оксида азота
имеет
магнитный момент равный 1,8
.
Определить удельную парамагнитную
восприимчивость газообразного оксида
азота при нормальных условиях.
(Ответ:
).
18.
Найти
магнитную восприимчивость
,
если его молярная магнитная восприимчивость
равна
(Ответ:
).
19. Железное кольцо, средний диаметр которого равен 30 см, а площадь сечения 500 мм2, несет на себе обмотку из 800 витков. По обмотке идёт ток силой 3 А. В кольце имеется поперечный прорез шириной 2 мм. Пренебрегая рассеянием поля в зазоре, найти магнитную проницаемость железа.
(Ответ: =3000).
20. Замкнутый железный сердечник длиной 50 см имеет обмотку в 1000 витков. По обмотке течет ток силой 1 А. Какой ток надо пропустить через обмотку, чтобы при удалении сердечника индукция осталась прежней?
(Ответ: = 620 А).
21.
Магнитная
восприимчивость марганца равна
.
Вычислить намагниченность, удельную
намагниченность и молярную намагниченность
марганца в магнитном поле напряженностью
100 кА/м. Плотность марганца считать
известной.
(Ответ: 12,1 А/м).
22.
Висмутовый
шарик радиусом
=
1 см помещен в однородное магнитное поле
(
= 0,5 Тл). Определить магнитный момент
,
приобретенный шаром, если магнитная
восприимчивость
висмута
равна
.
(Ответ:
).
23.
Напряженность
магнитного поля в меди равна 1 МА/м.
Определить намагниченность меди и
магнитную индукцию, если известно, что
удельная магнитная восприимчивость
.
(Ответ: = - 9,8 А/м; = 1,26 Тл).
24.
Малярная
магнитная восприимчивость
оксида
хрома
равна
Определить
магнитный момент молекулы
(в
магнетонах Бора), если температура 300
К.
(Ответ:
3,34
).
25.
При температуре
=
300 К и магнитной индукции
=
0,5 Тл была достигнута определенная
намагниченность парамагнетика. Определить
магнитную индукцию
,
при которой сохраняется та же
намагниченность, если температуру
повысить до
.
(Ответ: = 0,75 Тл).
26. Кусок стали внесли в магнитное поле напряженностью 1600 А/м. Определить намагниченность стали.
(Ответ: = 991 кА/м)
27.
Прямоугольный ферромагнитный брусок
объёмом
приобрёл
в магнитном поле напряженностью
=
800 А/м магнитный момент
.
Определить магнитную проницаемость
ферромагнетика.
28. По круговому контуру проходит ток величиной = 2 А. Радиус этого контура = 1м. Виток погружен в жидкий кислород. Определить вектор намагничения в центре витка.
(Ответ:
)
29.
В соленоиде длиной
=
0,1 м, имеющий 30 витков, введен магнитный
сердечник. По соленоиду проходит ток
=
1 А. Найти вектор намагничения железа
внутри соленоида, если его магнитные
свойства выражаются графиком
(прил
1).
(Ответ: = 1,27 МА/м)
30.
Индукция магнитного поля в железном
стержне
=
1,7 Тл. Определить значение вектора
намагничения в нём, если магнитные
свойства выражаются графиком
(прил.
1). Определить, какую часть магнитного
поля
железного
стержня составляет внутреннее магнитное
поле
.
(Ответ: = 1,3 МА/м; 96 %)