
- •1Структура линейного преобразования.
- •1.1Аннулирующий многочлен вектора, пространства
- •1.2Расщепление пространства в прямую сумму инвариантных подпространств
- •1.3Корневые подпространства.
- •1.4Жорданова клетка. Циклический базис. Циклические пространства.
- •1.5Жорданов базис, существование и единственность.
- •1.6Построение Жорданова базиса.
- •2 Алгебра, полугруппы, группы
- •2.1Отношение, операция, алгебра.
- •2.2Полугруппа
- •2.3Группа, подгруппа
- •2.4Изоморфизм групп.
- •2.5Смежные классы, теорема Лагранжа
- •2.6Циклические группы.
- •Циклические группы одинаковых порядков изоморфны между собой.
- •Циклическая группа бесконечного порядка изоморфна группе целых чисел.
- •Любая подгруппа циклической группы циклическая.
- •2.7Нормальный делитель, факторгруппа.
- •2.8Гомоморфизм групп.
- •2.9Нормальный ряд
- •2.10Простота знакопеременной группы
- •3Кольцо, подкольцо, идеал, факторкольцо.
- •3.1Кольцо
- •3.2.4Поле частных
- •3.3Идеал, факторкольцо.
- •3.3.1Кольцо вычетов.
- •3.3.2Присоединение корня многочлена.
- •3.4Гомоморфизм колец.
- •4Характеристика поля. Конечные поля.
- •4.1Характеристика тела, поля.
- •4.2Простые расширения полей
- •4.3Конечные поля.
- •5Теория Галуа
- •6.1Кольцо матриц. Эквивалентность матриц.
- •Перестановка строк
- •Умножение строки на обратимый элемент кольца
- •Прибавление к строке строки , умноженной на элемент кольца .
- •6.2Кольцо многочленов с матричными коэффициентами.
2.7Нормальный делитель, факторгруппа.
Подгруппа H группы G называется нормальным делителем, если для каждого элемента g группы G его левый и правый смежные классы по подгруппе H равны, т.е. gH=Hg.
Теорема 2.11.
Подгруппа H
группы G
является нормальным делителем тогда и
только тогда, когда
содержится в H
при любых g
из G
и h
из H.
Доказательство очевидно.
Пусть H – нормальный делитель группы G. На множестве смежных классов введем операцию умножения, индуцируемую групповой операцией. Под произведением смежных классов aH и bH будем понимать множество всевозможных произведений элементов из aH на элементы bH. Поскольку H – нормальный делитель, то все эти произведения содержатся в смежном классе (ab)H. Таким образом, на множестве смежных классов введена операция. Эта операция ассоциативна (aHbH)cH=aH(bHcH), существует нейтральный элемент H, и для каждого элемента aH существует обратный a-1H. Следовательно, множество смежных классов, относительно введенной операции, образуют группу, которая называется факторгруппой.
2.8Гомоморфизм групп.
Однозначное отображение группы G в группу H, сохраняющее операцию, называется гомоморфизмом группы G в H.
Изоморфизм является частным случаем гомоморфизма.
Свойство 2.15. При гомоморфизме нейтральный элемент группы G отображается в нейтральный элемент группы H.
Доказательство
вытекает из равенства
.
Множество
элементов группы G,
отображающихся в нейтральный элемент,
называют ядром гомоморфизма
и обозначают
.
Свойство 2.16.
Доказательство.
Так как
,
то
.
Свойство 2.17. Ядро гомоморфизма является нормальным делителем группы G.
Доказательство.
Для a
из G
и b
из ядра
справедливо
,
то есть
.
Множество
элементов группы H,
являющиеся образами элементов G,
называют множеством образов и обозначают
.
Свойство 2.18. Множество образов является подгруппой H.
Доказательство очевидно.
Теорема 2.12.
Факторгруппа
изоморфна
.
Доказательство.
Соответствие
является взаимно однозначным и сохраняет
операцию, следовательно, оно определяет
изоморфизм
и
.
Теорема 2.13.
Для любого нормального делителя H
группы G
существует гомоморфизм, ядро которого
равно H.
В частности таким гомоморфизмом из G
в G/H
является
.
Доказательство очевидно.
2.9Нормальный ряд
Докажем две теоремы о гомоморфизмах.
Теорема 2.14.
Пусть H
нормальный делитель группы G
и P
– подгруппа G.
Тогда
- нормальный делитель P
и
Доказательство.
Пусть
и
.
Тогда
так как H
нормальный делитель G,
и
т.к все элементы из P.
Следовательно,
- нормальный делитель
P.
Соответствие
является взаимно однозначным и сохраняет
операцию. Теорема доказана.
Теорема 2.15.
Пусть P
– нормальный делитель
и
.
Тогда T
– нормальный делитель G
и
.
Доказательство.
Рассмотрим
,
где
,
.
Поскольку
,
то
,
и, значит T
– нормальный делитель G.
Соответствие
является взаимно однозначным, т.к.
и сохраняет операцию.
Группа называется простой, если в ней нет нормального делителя отличного от нее самой и единичной подгруппы.
Нормальный
ряд группы – последовательность
подгрупп, в которой каждая следующая
является нормальным делителем предыдущей.
Если все группы нормального ряда
содержатся в нормальном ряде
,
то говорят, что второй нормальный ряд
получен уплотнением первого нормального
ряда.
Нормальный ряд без повторений, который нельзя уплотнить называется композиционным.
Для
нормального ряда
определены факторы
.
Два нормальных ряда называются
изоморфными, если все факторы первого
ряда изоморфны факторам второго ряда
переставленным в определенном порядке.
Свойство 2.19.
Если нормальные ряды
и
изоморфны, то для каждого уплотнения
первого ряда можно найти изоморфное
ему уплотнение второго ряда.
Доказательство.
Допустим, что
между подгруппами
и
появились новые подгруппы
.
Поскольку
и, значит, факторы
изоморфны соответствующим подгруппам
.
Обозначим через
соответствующую подгруппу
.
Определим последовательность групп
,
где i=1,…,t.
По доказанной выше теореме
.
Таким образом, уплотнение второго ряда
группами
является изоморфным. свойство доказано.
Теорема 2.16 (Шрайер) Два нормальных ряда одной группы обладают изоморфными уплотнениями
Доказательство.
Пусть
- первый нормальный ряд, а
- второй нормальный ряд. Если k=2
или s=2,
то теорема очевидна. Докажем теорему
для k=3
индукцией по s.
Рассмотрим случай s=3.
Ряды
и
изоморфны (т.к.
и
)
и являются уплотнениями исходных рядов.
Пусть утверждение верно для s-1,
выведем его справедливость для s.
По предположению индукции, ряды
и
обладают изоморфными уплотнениями. Ряд
изоморфен
,
и, значит, для любого уплотнения
найдется изоморфное уплотнение
.
Следовательно, утверждение теоремы при
k=3
доказано для всех s.
Пусть утверждение теоремы справедливо
для k-1,
покажем его справедливость для k.
Ряды
и
обладают изоморфными уплотнениями.
Пусть
- уплотнение первого ряда. По предположению
индукции ряды
и
обладают изоморфными уплотнениями.
Следовательно, теорема доказана.
Следствие 2.12. Любые два композиционные ряда одной и той же группы изоморфны.