3.4Гомоморфизм колец.

Однозначное отображение кольца K в кольцо H, сохраняющее операции сложения и умножения, называется гомоморфизмом колец ( и ).

Свойство 3.23. , .

Множество элементов кольца K, образ которых равен 0, называют ядром гомоморфизма и обозначают , а множество элементов H, для которых существует прообраз, называют множеством образов и обозначают .

Свойство 3.24. - двусторонний идеал в K

Доказательство. Пусть . Так как , то . Аналогично, , и . Далее, , то есть . Тем самым установлено, что - подкольцо. Для имеем , то есть - двусторонний идеал в K.

Свойство 3.25. - подкольцо H

Доказательство. Пусть , тогда найдутся их прообразы c,d и так далее…

Теорема 3.22. Факторкольцо изоморфно . Для любого двустороннего идеала I кольца K существует гомоморфизм с ядром равным I, например, в K/I.

Доказательство. Изоморфизм задается соотношением .

4Характеристика поля. Конечные поля.

4.1Характеристика тела, поля.

Пусть P произвольное поле (тело). Обозначим через e нейтральный элемент. Под ke будем понимать сумму e+e+…+e, k – указатель кратности.

Рассмотрим циклическую группу относительно +, порожденную e. Если группа бесконечна, то говорят, что поле P имеет характеристику 0. В этом случае поле содержит подполе изоморфное полю рациональных чисел.

Пусть порядок группы равен n. Поскольку (ke)(me)=(km)e, то множество элементов вида ke образует подполе поля P, которое изоморфно Z_n. В этом случае число n – простое и называется характеристикой поля.

Оформим сказанное выше в виде теоремы.

Теорема 4.23. Поле характеристики ноль содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел. Поле конечной характеристики n содержит подполе изоморфное кольцу вычетов .

4.2Простые расширения полей

Пусть поле P содержится в поле T и a – элемент T не принадлежащий P. Рассмотрим наименьшее поле P(a) содержащее все элементы из P и a. Все элементы вида принадлежат P(a). Рассмотрим два случая.

1. Ни один элемент вида не равен 0. Тогда поле P(a) изоморфно полю частных P(x). В этом случае говорят о трансцендентном расширении полей.

2. Найдется . Выберем элемент с наименьшей степенью. Многочлен неприводим и поле P(a) изоморфно факторкольцу . В этом случае говорят об алгебраическом расширение полей.

4.3Конечные поля.

Теорема 4.24. Число элементов конечного поля pⁿ, где p – простое число.

Доказательство. Поскольку поле P конечно, то его характеристика отлична от нуля. Пусть p его характеристика. Поле P, можно рассматривать как векторное пространство над Z_p. Обозначим через v₁,…,v_n базис P. Любой элемент поля P однозначно характеризуется координатами (x₁,…,x_n ) в этом базисе. Каждая координата принимает p значений, следовательно, число различных наборов координат, а значит и элементов поля P, равно pⁿ.

Лемма 4.2 В поле характеристики p .

Доказательство. , где - кратность вхождения элемента. Величина не делится на p только в случае i=0;p. Так как pe=0, то .

Теорема 4.25. Для любого натурального n и простого p существует поле порядка pⁿ.

Расширим Z_p так, чтобы результирующее поле содержало все корни многочлена . Многочлен не имеет кратных корней, так как его производная равна –1. Обозначим через M множество корней многочлена . Легко проверить, что M является полем и число его элементов равно pⁿ

Теорема 4.26. Поле порядка единственно с точностью до изоморфизма.

Доказательство.

Поскольку число элементов поля , то его характеристика равна . Следовательно, любое поле P порядка можно рассматривать как расширение кольца вычетов . Мултьипликативная группа поля ( ) имеет порядок , и, следовательно, для любого справедливо . Таким образом, все элементы поля являются корнями уравнения над .

Теорема 4.27. Мультипликативная группа корней n-ой степени из 1 в поле P является цикличной.

Доказательство. Пусть p характеристика поля P. Если , то , и, значит, множество корней уравнения совпадает с множеством корней степени . Не нарушая общности можно считать . Доказательство достаточно провести для случая, когда все корни n-ой степени из 1 содержатся в поле P. В противном случае расширим поле и воспользуемся фактом, что любая подгруппа циклической группы – циклическая. Поскольку имеет только единственный корень, равный нулю, то количество корней n-ой степени из 1 равно n. Рассмотрим три случая:

1. n – простое число. Тогда группа корней имеет порядок n, и, значит циклическая

2. - степень простого числа. Найдем корень уравнения , не являющийся корнем уравнения . Порядок элемента является делителем порядка группы n и не является делителем . Следовательно, порядок равен n и группа циклическая.

3. Пусть . Обозначим через порождающий элемент циклической группы корней из 1 степени . Положим . Индукцией по k покажем, что порядок равен . При k=1 утверждение очевидно. Пусть оно доказано для k-1. Порядок элемента равен . Наибольший общий делитель t и равен 1, и, значит, найдутся числа u и v, что . Поскольку и , то порядок элемента делится на t и на . Далее, из равенства , следует, что порядок элемента является делителем . Теорема доказана.