5. Отбор корней.

Отбор корней производится:

- в уравнениях, имеющих ограничения по области определения;

 в уравнениях с дополнительным условием, например: «найти все решения, принадлежащие отрезку [  /2; /2]» и тому подобным;

 в смешанных уравнениях в соответствии с областью определения, например,

, т. е. решив данное уравнение необходимо отобрать корни при которых cosх  0.

Способ 1. Способ неравенства.

Пункт 1. Записать двойное неравенство для неизвестного (х), соответственное данному промежутку или условию; решить уравнение;

Пункт 2. Для синуса и косинуса разбить решения на два;

Пункт 3. Подставить в неравенство вместо неизвестного (х) найденные решения и решить его относительно n;

Пункт 4. Учитывая, что n принадлежит Z, найти соответствующие неравенству значения n;

Пункт 5. Подставить полученные значения n в формулу корней (при необходимости).

Пример. Решить уравнение 2cos²х  cos2х = 2 sin²х  sin 2х. Найти корни, принадлежащие промежутку [  /2;  2/].

/2  х  /2,

2cos²х +cos2х  2sin²х + sin2х =0,

cos2х + sin2х = 0 : cos2х 0, т. к. при cos2х = 0 уравнение не имеет решения.

1 + tg2х = 0, tg2х = - 1, х = - /8 + n /2, где n Z .

Т. к. /2  х  /2, то /2  - /8 + n /2  /2 ,

/2 + /8  n /2  /2 + /8,

6/8  n  10/8, т. к. n Z, то n = 0, 1

х = - /8, х = - /8 +  /2 х = 3/8

Ответ: /8 + n /2, где n Z. /8; 3/8.

Способ 2. Отбор на окружности.

Пункт 1. Решить уравнение;

Пункт 2. Обвести дугу, соответствующую данному промежутку на круге;

Пункт 3. Отметить решения на круге, для чего:

- разделить виды решения для синуса и косинуса;

- подсчитать значения х при n равных минимальным значениям до тех пор пока значения не выйдут за пределы данного промежутка (при необходимости);

Пункт 4. Выбрать решения, попавшие на обведенную дугу.

Пример. Решить уравнение cos³х + sin³х = cos2х. Найти корни, принадлежащие промежутку (  /2; /2).

(

/2

3/4

 0 0

/4

/2

cosх + sinх)(1  cosх sinх )= cos2х,

( cosх + sinх)(1  cosх sinх )  (cosх  sinх)( cosх + sinх ) = 0,

( cosх + sinх)(1  cosх sinх  cosх + sinх ) = 0,

( cosх + sinх)(1 + sinх )(1  cosх) = 0

cosх + sinх = 0 или 1 + sinх = 0 или 1  cosх = 0

х =  /4 + n х =  /2 + 2n х = 2n, где n Z.

n =0, х = -  /4 n =0, х = -  /2 n =0, х = 0

n =1, х = 3 /4 n =1, х = 3 /2 n =1, х = 2

Ответ:  /4; 0.

Отбор корней можно вести по координатной прямой.

Решить уравнение .

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.

sinх = 0 или

х = n , Решим уравнение sinх = 1/2 и отберем корни, удовлетворяющие

х = ( - 1)ⁿ /6 + n условию sinх  0.

х₁ =  /6 + 2n ,

х₂ = 5 /6 + 2n .

+

_{-  /6}^ ₀^ _{5 /6} ^_{ х}

Корень, удовлетворяющий условию 5/6 + 2n .

Ответ: n ; 5/6 + 2n , где n Z.