1. Алгебраические преобразования и тригонометрические преобразования чередуются после каждого законченного цикла преобразований.

2. Установление вида уравнения производить после каждой законченной операции пунктов 5 и 7.

3. При наличии тригонометрических функций в знаменателе, при наличии тангенса и котангенса найти область определения уравнения и произвести отбор корней (исключить посторонние).

Примеры. Решить уравнения:

1. cos²х  sin²х = 2cos²2х,

Пункт 1  отсутствует; пункт 2: т. к. cos²х  sin²х = cos2х

сos2х = 2cos²2х,

Пункт 5 ( осуществим перенос и разложение на множители: 2cos²2х  cos2х = 0,

cos2х (2cos2х 1) = 0,

Пункт 6  Уравнение вида  произведение равно нулю:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.

cos2х = 0 или 2cos2х 1 = 0,

2х = /2 + n, где n Z cos2х = 1/2,

х = /4 + n/2 2х =  /3 + 2n, где n Z

х =  /6 + n

Ответ: /4 + n/2,  /6 + n, где n Z .

2. 

Пункты 1 ( 4 отсутствуют .Выполним пункт 5 «Алгебраические преобразования»  приведем уравнение к целому виду, учитывая, что sin х/2  0,

т. е. х/2 n , х  2n.

сosх + 1 = 2 sin х/2,

Выполним пункт «Тригонометрические преобразования» 7. 1. б, заметив, что углы разнятся в два раза. Применим формулу половинного аргумента для косинуса:

2 cos²х/2 = 2 sin х/2,

Перейдем к пункту 5, перенесем 2 sinх/2 влево, сократим на два:

cos²х/2  sin х/2 =0, sin ²х/2 +sin х/2 – 1 =0, sinx/2 = t, t 1

t² + t – 1 = 0, t₁ = посторонний корень, t₂ =

х/2 = ( - 1)ⁿ arcsin + n , где n Z . х = ( - 1)ⁿ 2 arcsin +2 n

Ответ: ( - 1)ⁿ 2 arcsin +2 n, где n Z .

3. 1 + sin2х = (cos3х + sin3х)².

Выполним пункт 5 «Алгебраические преобразования»  возведем скобку в квадрат:

1 + sin2х = 1 + 2 sin3х cos3х,

Выполним пункт «Тригонометрические преобразования» 7. 2.б , применив формулу двойного угла для синуса:

1 + sin2х = 1 + sin6х,

sin2х  sin6х = 0,

Так как углы разные, выполним пункт 7. 1. в, применив формулу перевода суммы в произведение: 2 sin( 2х) cos4х = 0,

Выполним пункт 1, вынесем минус за знак синуса и сократим на - 2 (пункт 5):

sin2х cos4х = 0,

Пункт 8. Уравнение вида - произведение равно нулю:

sin2х = 0 или cos4х = 0,

2х = n, где n Z , 4х = /2 + n, где n Z ,

х = n/2, х = /8 + n/4,

Ответ: n/2, /8 + n/4, где n Z .

4) 2cos²х  cos2х = 2sin²х  sin2х.

С приобретением навыка целесообразно перед решением делать анализ:

Пунктов 1 ( 6 нет; углы разняться в два раза (пункт 7), применяем формулу половинного аргумента для синуса и косинуса (можно использовать формулы двойного угла):1 + cos2х  cos2х = 1  cos2х  sin2х

Далее алгебраические преобразования :

сos2х + sin2х = 0,

Уравнение однородное первой степени, решаем путем деления обеих частей на cos2х .

cos2х 0, т. к. в противном случае уравнение не будет иметь решения.

1 + tg2х = 0, tg2х =  1, 2х =  /4 + n, где n Z ,

х =  /8 + n/2.

Ответ:  /8 + n/2, где n Z .

5) 1 + cosх =  tg(/2 + х/2).

Анализ: привести угол в стандартный вид; выразить котангенс через косинус, деленный на синус (пункт 3), выполнить алгебраические преобразования (пункт 5), т. е. привести уравнение к целому виду:

1 + cosх = сtg х/2, 1 + cosх = ,

Т. к. деление на нуль не определено, то sinх/2  0, х  2n .

sinх/2(1 + cosх) = cosх/2,

Перейдем к тригонометрическим преобразованиям. Углы разнятся в два раза, целесообразно применить формулу половинного аргумент для косинуса:

2sinх/2 cos²х/2 = cosх/2,

Далее алгебраические преобразования  перенесем cosх/2 и вынести за скобку:

cosх/2(2sinх/2 cosх/2  1) = 0,

Далее тригонометрические преобразования  используем формулу двойного угла для синуса:

cosх/2(sinх  1) = 0,

Уравнение вида  произведение равно нулю:

cosх/2 = 0 или sinх  1 = 0,

х =  + 2n, х = /2 + 2n, где n Z .

Ответ:  + 2n, /2 + 2n, где n Z .

6) sin³х  cos³х = sin²х  cos²х.

А нализ: алгебраические преобразования  осуществим разложение на множители с помощью формул разности кубов и разности квадратов:

Учитывая, что sin²х + cos²х = 1, получим:

(sinх  cosх)(1 + sinх cosх  sinх  cosх) = 0,

(sinх  cosх)(1  cosх)(1  sinх) = 0,

Далее решаем:

sinх  cosх = 0 или 1  cosх = 0 или 1  sinх = 0,

х =/4 + n , х = 2n , х = /2 + 2n ,где n Z .

7) sin²2х + sin²3х + sin²4х + sin²5х = 2

Анализ: углы разные, степень вторая, необходимо понизить ее, используя формулы понижения степени:

= 2,

4  cos 4х  cos 6х  cos 8х  cos 10х = 4,

cos 4х + cos 6х + cos 8х + cos 10х = 0,

Углы разные, осуществим перевод суммы в произведение (п. 7. 1.в), группируя по два члена:

2cos5х cosх + 2cos9х cosх = 0,

cosх (cos5х + cos9х) = 0,

2 cosх (cos7х cosх) = 0, cos ²х cos7х = 0,

cos ²х = 0 или cos7х = 0

х = /2 + n 7х = /2 + n , х = /14 + n /7, где n Z .

Ответ: /2 + n, /14 + n /7, где n Z .

Ключевые слова.

Сначала алгебраические преобразования, потом тригонометрические .

Тригонометрические преобразования сначала по углу потом по функции.