Расчет электрического фильтра для второй гармоники

Требуется рассчитать полосовой фильтр для выделения второй гармоники при частоте генерируемых колебаний 8 кГц. Неравномерность ослабления в ПЭП ΔА=0,5 дБ, минимально допустимое ослабление в ПЭН A_min=26 дБ.

Частота 2-ой гармоники равна 10 кГц, следовательно f₀ =10 кГц.

Найдем граничные частоты ПЭП и ПЭН.

ω₀=2πf_j=2•3,14•10000=62800 рад/с.

Так как , то задавшись f₃=12 кГц, т.е. ω₃=75360 рад/с, найдем ω’₃; ω’₃=ω²₀/ω₃=52333 рад/сек. Учитывая соотношение , определим

Δω= ω₂-ω’₂ = =8224 рад/с.

Решая совместно систему

,

получаем

ω’₂= 5882,5 рад/с;

ω₂=67046,5 рад/с.

Таким образом граничные частоты:

f₂=10,676 кГц (ω₂=67046,5 рад/с);

f’₂=9,367 кГц (ω’₂=5882,5 рад/с);

f₃=12 кГц (ω₃=75360 рад/с);

f’₃=8,333 кГц (ω₃=52333 рад/с).

Пользуясь методическими указаниями найдем полюсы передаточной функции НЧ-прототипа: S₁=-0,626457; S_2,3=-0,313228±j1,021928

Для отыскания полюсов передаточной функции воспользуемся соотношением:

,

Полученные значения полюсов представим в таблице:

Таблица 4 Полюсы H(p) полосового фильтра

Номер полюса	Полюсы H(p) полосового фильтра
	α	±jω
1,2	-2558,44	62779,74
3,6	-1364,05	67131,01
4,5	-1194,44	58783,75

Передаточная функция может быть записана в виде произведения трех сомножителей третьего порядка

,

где

.

Коэффициенты при p в знаменателях сомножителей a_i=2α_i, а свободные члены a_i= a²_i + ω²_i. Их значения в таблице ниже:

Таблица 5 коэффициенты H(p) полосового фильтра

Номер сомножителя	Значения коэффициентов
	bi	ai	a0i
1	7306	5117	3947841760
2	7306	2728	4508432529
3	7306	2389	3456956373

Тогда передаточная функция запишется так:

.

Для реализации полученной передаточной функции необходимо выбрать тип звеньев, для чего найдем вначале добротность полюсов соответствующих сомножителей, используя соотношение

.

В результате расчетов получим Q1=12,28, Q2=24,61, Q3=24,61.

Для реализации 1-ого, 2-ого и 3-его сомножителей выбираем схему приведенную ниже:

Рисунок 17. Схема принципиальная электрическая 2-ого звена полосового фильтра

Для отыскания элементов звена, соответствующего первоначальному сомножителю H(p), составим систему уравнений:

.

Зададимся C₆=C₇=C=5 нФ. Здесь ω_п – частота полюса,

определяемая для данного сомножителя, как

рад/с.

Таким образом

R₁= R₂=1/ С=3,183кОм.

Решая систему относительно элементов R₅, R₃, R₄ получим:

R₅=39,025 кОм; R₃=7,44 кОм; R₄=1,362 кОм.

Поступая аналогичным образом найдем элементы третьего звена, а результаты вычислений сведем в таблицу:

Элементы 1-ого звена
R25, кОм	R26, кОм	R27, кОм	R28, кОм	R29, кОм	С30, нФ	С31, нФ
3,183	3,183	7,44	1,362	17,383	5	5
Элементы 2-ого звена
R25, кОм	R26, кОм	R27, кОм	R28, кОм	R29, кОм	С30, нФ		С31, нФ
2,979	2,979	1,775	4,998	73,314	5		5
Элементы 3-ого звена
R32, кОм	R33, кОм	R34, кОм	R35, кОм	R36, кОм	С37, нФ		С38, нФ
3,4	3,4	1,652	7	83,717	5		5

Таблица 6 – Рассчитанные значения элементов полосового фильтра

Для расчета АЧХ и ослабления фильтра в выражении H(p) осуществим замену p=jω, тогда |H(jω)| запишется так:

.

Ослабление фильтра связано с АЧХ выражением:

.

Найдем частоты ПЭП, при которых А и АЧХ принимают максимальные значения. Из таблицы в методических указаниях для характеристик НЧ-прототипа имеем при n=3 Ω_1min=0; Ω_1max=0,5; Ω_2min=0,866; Ω_2max=1.

Для нахождения соответствующих частот характеристики ПФ воспользуемся соотношениями:

,

.

Результаты расчетов АЧХ и ослабления отдельных звеньев и всего фильтра удобно свести в таблицу 7.

Полученная частотная зависимость ослабления удовлетворяет заданным нормам ΔА и А_min.

По результатам расчетов построим графики АЧХ (рисунок 20) и зависимость ослабления от частоты полосового фильтра (рисунок 19).

Таблица 7 - Результаты расчета характеристик фильтра

ω	ω'3	ω'2	ωmin1	ωmax1	ω0	ωmax2	ωmin2	ω2	ω3
f, кГц	8,33	9,37	9,45	9,68	10	10,33	10,58	10,68	12
|H(jω)|1	0,31	0,75	0,83	1,12	1,43	1,12	0,84	0,75	0,31
|H(jω)|2	0,22	0,41	0,44	0,54	0,78	1,38	2,4	2,68	0,46
|H(jω)|3	0,52	3,05	2,75	1,57	0,89	0,61	0,5	0,46	0,25
A1, дБ	10,2	2,45	1,58	-0,95	-3,09	-0,96	1,56	2,45	10,18
A2, дБ	13,33	7,81	7,22	5,39	2,12	-2,77	-7,61	-8,55	6,72
A3, дБ	5,6	-9,7	-8,8	-3,93	0,97	4,23	6,05	6,66	12,17
|H(jω)| фильтра	0,03	0,94	1	0,94	1	0,94	1	0,94	0,04
Афильтра, дБ	29,13	0,56	0	0,5	0	0,5	0	0,56	29,07

Рисунок 19. График зависимости |H(jω)|=F(f) полосового фильтра

Рисунок 20 График зависимости A=F(f) полосового фильтра