Матричная интерпретация метода Гаусса

Рассмотрим элементарные преобразования над строками матрицы и покажем, что каждое элементарное преобразование над строками матрицы равносильно умножению на некоторую матрицу, которую будем называть элементарной, слева.

1) Умножение -ой строки матрицы на число , т.е. . Элементарная матрица , соответствующая этому преобразованию, имеет вид:

, тогда .

2) Перестановка -ой и -ой строк матрицы , т.е. . Элементарная матрица , соответствующая этому преобразованию, имеет вид:

, тогда .

3) Прибавление к -ой строке матрицы -ой строки, умноженной на число , т.е. . Элементарная матрица , соответствующая этому преобразованию, имеет вид:

, тогда .

Аналогично, любое элементарное преобразование над столбцами матрицы равносильно умножению на элементарную матрицу справа.

Элементарными преобразованиями над строками невырожденной матрицы можно привести ее к единичному виду. Пусть преобразованиями мы приводим матрицу к единичному виду. Эти преобразования можно заменить умножением на элементарные матрицы.

Если , тогда . Получаем еще один способ нахождения обратной матрицы. Он состоит в том, что все элементарные преобразования над строками матрицы , проделаем и над матрицей , в итоге этих преобразований получим .

, так как , тогда , то есть .

Таким образом, элементарными преобразованиями над строками матрицы можно проверить: является ли матрица вырожденной или нет, и в том случае, если она невырожденная, то можно найти . Число операций ограничено сверху ( и циклов)

Рассмотрим способ решения систем линейных неоднородных уравнений с помощью злементарных преобразований над строками матрицы. Пусть задана система .

, в том случае, когда , т.е. – невырожденная, имеем , и окончательно , откуда .

Матричные уравнения

Матричным уравнением называется уравнение вида или , где – заданные матрицы. Если – невырожденная, тогда и .

Матричное уравнение вида можно решить с помощью элементарных преобразований над строками матрицы .

Матричное уравнение вида можно решить с помощью элементарных преобразований над столбцами матрицы .

Теорема 14. Определитель произведения матриц равен произведению определителей.

Доказательство. Пусть . Построим блочную матрицу вида , к первой блочной строке прибавим вторую блочную строку, умноженную на . Это преобразование равносильно умножению блочной матрицы на некоторую матрицу слева, т.е. . Это преобразование не меняет определителя блочной матрицы, т.е. . Найдем определитель каждой блочной матрицы по теореме Лапласа.

= = ₌

= , что и требовалось доказать.

Теорема 15. (Формула Бине-Коши) Пусть , тогда

, где .

Доказательство. Пусть ( ), ( ), ( ).

Если или , тогда .

Покажем, что если , тогда и .

1) Если , то , так как если это не так, то , что противоречит первоначальному условию..

2) Пусть , . Рассмотрим матрицу и посчитаем ее определитель двумя способами.

1 способ. Элементарными преобразованиями, которым эквивалентно умножение справа на элементарную матрицу , приведем матрицу к виду . Тогда

= = = = .

2 способ. Используя теорему Лапласа, разложим определитель матрицы по первым строкам. = , где . Замечаем, что . Пусть . Так как миноры, содержащие хотя бы один столбец с номером большим равны нулю, получаем:

= , где .

Разложим по первым столбцам, тогда . Итак,

.

Введем обозначение , тогда

, т.к. = , получаем окончательно, что

.

Утверждение будет доказано, если числа и одинаковой четности. Получаем, что число является четным, значит .

Теорема 12. Ранг произведения матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей.

Доказательство. Пусть , . , = – линейная оболочка всех столбцов .

Получаем, что система столбцов линейно выражается через систему столбцов , т.е. , значит .

Аналогично получаем, что любая строка является линейной комбинацией строк , тогда . Теорема доказана.

Матрица называется вырожденной (особенной, singular), если . Если , то матрица невырожденная.

Если , то не существует ни левой обратной, ни правой обратной матриц для . Так как ( ), но тогда по теореме 12 , чего быть не может, значит уравнения и не имеют решений.

Если , то для матрицы существует обратная матрица.

- присоединенная к . – алгебраическое дополнение к элементу матрицы .

, где . Получили . Если , тогда – правая обратная матрица к .

Аналогично, , где , значит , тогда – левая обратная матрица к .

Замечание. Важным является то, что – поле, иначе делить на ∆ было бы нельзя.

1 Габриель Крамер (1704-1752) – швейцарский математик.

21