Линейные рекуррентные соотношения

(*)

Если ≠0, то формула (*) называется линейным рекуррентным соотношением -ого порядка.

– замкнуто относительно сложения и умножения.

– линейное подпространство , . Множество – -мерное линейное подпространство в пространстве .

Рассмотрим многочлен (1), где – корень кратности .

Теорема 10. Если – корень , тогда .

Доказательство. Если α – корень , тогда . Умножив на , получим , а это и есть формула (*), где .

Если многочлен степени имеет различных корней, т.е. и , тогда совокупность векторов будет базисом .

Рассмотрим теперь случай, когда корни кратные.

Лемма. Если – -кратный корень , то он -1-кратный корень .

Доказательство. Если – -кратный корень , тогда . Получаем, , причем не делится на .

Следствие. Если – -кратный корень , то он ( )-кратный корень .

Для многочлена (1) посчитаем первую производную , причем . Следовательно, и (так как – корень ). Умножив первое соотношение на , второе – на и затем сложив их, получаем , а это есть формула (*), где . В данном случае .

Теорема 11. Для любого существует единственный степени не больше , что .

– -мерное линейное пространство, которое замкнуто относительно сложения матриц и относительно умножения матрицы на число .

Действия с матрицами

Матрицы относятся к наиболее изучаемым объектам в курсе геометрии и алгебры. На матричном языке удобно производить различные вычисления.

Пусть − произвольное ассоциативное кольцо. Будем говорить, что матрица задана над кольцом , если каждый элемент матрицы является элементом кольца , т. е. .

Рассмотрим операцию умножения матриц. Пусть , тогда , . Умножение матриц не коммутативно, т. е. .

Свойства операций.

1. Умножение матриц ассоциативно, т.е. .

Доказательство. Пусть , тогда , .

Для элемента матрицы имеет место , а для элемента матрицы имеем , откуда .

2. Закон дистрибутивности .

Доказательство. Пусть , тогда = = .

3. Закон дистрибутивности .

4. Пусть , тогда . Если − коммутативное кольцо, тогда .

5. .

Доказательство. .

6. Если − коммутативное кольцо, тогда .

Доказательство. Пусть , тогда . Замечаем, что , тогда произведение определено, причем .

Множество квадратных матриц порядка образует некоммутативную полугруппу по умножению.

Действия с блочными матрицами

Пусть , , тогда . Действительно, .

Обратная матрица

Пусть – коммутативное кольцо с единицей . для любой матрицы из кольца.

Если для уравнения существует решение, то называется правой обратной матрицей для .

Если для уравнения существует решение, то называется левой обратной матрицей для .

Теорема 13. Если существуют левая и правая обратные матрицы для , то они совпадают и единственные.

Доказательство. . Пусть существует обратная матрица такая, что , но тогда .