
Линейные рекуррентные соотношения
(*)
Если
≠0,
то формула (*) называется линейным
рекуррентным соотношением
-ого
порядка.
– замкнуто
относительно сложения и умножения.
– линейное
подпространство
,
.
Множество
–
-мерное
линейное подпространство в пространстве
.
Рассмотрим многочлен
(1), где
– корень
кратности
.
Теорема 10.
Если
– корень
,
тогда
.
Доказательство.
Если α – корень
,
тогда
.
Умножив на
,
получим
,
а это и есть формула (*), где
.
Если многочлен
степени
имеет
различных корней, т.е.
и
,
тогда совокупность векторов
будет базисом
.
Рассмотрим теперь случай, когда корни кратные.
Лемма.
Если
–
-кратный
корень
,
то он
-1-кратный
корень
.
Доказательство.
Если
–
-кратный
корень
,
тогда
.
Получаем,
,
причем
не делится на
.
Следствие.
Если
–
-кратный
корень
,
то он (
)-кратный
корень
.
Для многочлена
(1) посчитаем первую производную
,
причем
.
Следовательно,
и
(так как
– корень
).
Умножив первое соотношение на
,
второе – на
и затем сложив их, получаем
,
а это есть формула (*), где
.
В данном случае
.
Теорема 11.
Для любого
существует единственный
степени не больше
,
что
.
–
-мерное
линейное пространство, которое замкнуто
относительно сложения матриц и
относительно умножения матрицы на число
.
Действия с матрицами
Матрицы относятся к наиболее изучаемым объектам в курсе геометрии и алгебры. На матричном языке удобно производить различные вычисления.
Пусть
− произвольное ассоциативное кольцо.
Будем говорить, что матрица
задана над кольцом
,
если каждый элемент
матрицы
является элементом кольца
,
т. е.
.
Рассмотрим операцию
умножения матриц. Пусть
,
тогда
,
.
Умножение матриц не коммутативно, т. е.
.
Свойства операций.
1. Умножение матриц
ассоциативно, т.е.
.
Доказательство.
Пусть
,
тогда
,
.
Для элемента
матрицы
имеет место
,
а для элемента
матрицы
имеем
,
откуда
.
2. Закон дистрибутивности
.
Доказательство.
Пусть
,
тогда
=
=
.
3. Закон дистрибутивности
.
4. Пусть
,
тогда
.
Если
− коммутативное кольцо, тогда
.
5.
.
Доказательство.
.
6.
Если
− коммутативное кольцо, тогда
.
Доказательство.
Пусть
,
тогда
.
Замечаем, что
,
тогда произведение
определено, причем
.
Множество квадратных матриц порядка образует некоммутативную полугруппу по умножению.
Действия с блочными матрицами
Пусть
,
,
тогда
.
Действительно,
.
Обратная матрица
Пусть
– коммутативное кольцо с единицей
.
для любой матрицы
из кольца.
Если для уравнения
существует решение, то
называется правой обратной матрицей
для
.
Если для уравнения
существует решение, то
называется левой обратной матрицей для
.
Теорема 13. Если существуют левая и правая обратные матрицы для , то они совпадают и единственные.
Доказательство.
.
Пусть существует обратная матрица
такая, что
,
но тогда
.