Кривизна кривої

Нехай задано криву лінію в натуральній параметризації

(1)

Розглянемо лінію і зафіксуємо на ній т. Р

побудуємо в кожній із точок Р і Q дотичні вектори

РQ= - довжина

назвемо кутом повороту дотичної до кривої, при переході т.Р в т.Q

Кривизною кривої (1) в т.Р називається відношення кута повороту дотичної до довжини дуги кривої, між двома нескінченно близькими точками, у яких побудовані дотичні, при умові,що

Механічно це означає швидкість зміни кута повороту.

Теорема:

Всяка регулярна, принаймні двічі неперервно-диференційовна крива, у кожній своїй точці має кривизну, яка визначається так:

Доведення:

Зауважимо, що похідну вектора по звичайному параметру t будемо позначати:

а по натуральному параметру S:

покажемо, що є кривизна:

З АУВАЖЕННЯ: трикутник QMN – рівнобедрений, проведемо в ньому висоту і бісектрису.

отже

Теорема про необхідні і достатні умови

рівності кривизни кривої нулю:

Для того, щоб кривизна кривої дорівнювала нулю, необхідно і достатньо щоб крива лінія була прямою або відрізком

Доведення:

(необхідність)

Дано, що кривизна дорівнює нулю, доведемо, що в цьому випадку крива є прямою

а якщо похідна стала, то функція буде лінійною: - лінійний вектор, який визначає пряму лінію.

(достатність)

Дано, що лінія є прямою, доведемо, що кривизна дорівнює нулю.

Так, як лінія є прямою, то вона визначається лінійним вектором , тоді його похідна

, а друга похідна дорівнює нулю, це означає, що

Обчислення кривизни кривої у випадку

довільної параметризації:

- задана лінія

припустимо, що , тобто

маємо

розглянемо тепер вираз:

так, як - це вектор постійної довжини, то кут між і =90^о, див. теорему

тобто маємо, що кривизна:

Отже - кривизна кривої для довільної параметризації

Скрут кривої і його визначення

Нехай крива лінія задана в натуральній параметризації: , розглянемо на кривій деяку т.Р і нескінченно близьку до неї т.Q, побудуємо в т.Р і Q одиничні вектори бінормалі

- довжина дуги РQ

- кут повороту бінормалі

Абсолютним скрутом кривої (1) в т.Р називається границя відношення кута повороту бінормалі кривої до довжини дуги кривої кривої, між двома нескінченно близькими точками, у яких побудовано бінормаль, при умові, що довжина дуги прямує до нуля.

Теорема:

Всяка регулярна, принаймні тричі неперервно-диференційовна крива, у кожній своїй неособливій (в якій кривизна не дорівнює нулю) точці має абсолютний скрут, який визначається так:

Доведення:

Покажемо спочатку, що справді

вектор ортогональний до , як вектор постійної довжини.

Покажемо, що ортогональний , справді розглянемо скалярний добуток * =0, візьмемо похідну правої і лівої частини: * + * =0, звідси, так як = а лежить в стичній площині, то * =0 => * =0, отже ортогональний до .

Звідси випливає, що - співнаправленні.

Розглянемо

отже ми показали, що

Знайдемо , і підставимо в ( ), із теореми про існування кривизни маємо, що

отже:

Теорема про необхідні і достатні умови рівності скруту нулю

Для того,щоб скрут кривої дорівнював нулю, необхідно і достатньо, щоб крива була плоскою, а отже лежала у стичній площині

Доведення:

(необхідність)

Дано, що скрут дорівнює нулю, доведемо, що крива є плоскою.

Якщо скрут дорівнює нулю, то звідси маємо, що , це означає, що в кожній точці кривої сталий(один і той же) , таким чином площина в кожній точці стала, отже крива лежить в стичній площині.

(достатність)

Дано, що крива лежить в стичній площині, доведемо, що скрут дорівнює нулю

, раз так, то в кожній точці кривої одиничний вектор кривої сталий, звідси випливає, що .

Обчислення скруту кривої

у випадку довільної параметризації

Нехай крива задана векторно ;

припустимо, що , тобто

отримані вирази підставимо у формулу із теореми про скрут:

ЗАУВАЖЕННЯ: Для скруту кривої можна ввести відповідний знак, знявши модуль в правій і лівій частині: ;

Якщо рухаючись по кривій лінії в напрямку зростання параметра стична площина обертається навколо дотичної проти годинникової стрілки, то скрут вважається додатнім, якщо ж стична площина обертається за годинниковою стрілкою, то скрут вважається від’ємним.