Замкнені множини Граничні точки

Множина М топологічного простору називається замкненою, якщо його доповнення є відкритою множиною, тобто якщо, _.

_{Приклади.}

_{1. Відрізок є замкненою множиною на прямій з природною топологією.}

_{2. Множина натуральних чисел N – це замкнена множина на прямій R з природною топологією, оскільки - відкрита множина.}

_{3. На дійсній прямій з природною топологією побудуємо так звану канторову множину: на першому кроці замкнений відрізок розділимо на три частини і виключимо середній інтервал ; на другому кроці кожен із решти відрізків розділимо на три частини і виключимо середні інтервали і і т. д. Точки, що залишилися на відрізку, утворюють канторову множину (це теорія фракталів). Легко побачити, що канторова множина – замкнена.}

З цього визначення і аксіоми III безпосередньо випливає доведення

. Весь простір і порожня множина Ø є замкненими множинами.

Далі, оскільки , то з аксіоми II безпосередньо випливає доведення.

2°. Об'єднання будь-яких двох замкнених множин є замкнена множина. (Якщо - замкнені множини, то множина - теж замкнена)

Так як для для будь-якої (скінченої чи нескінченної) системи множин , то з аксіоми I отримуємо:

3°. Перетин будь-якої системи (скінченої чи нескінченної) замкнених множин є замкнена множина.(якщо - сукупність замкнених множин, то множина замкнена).

Означення. Точка а топологічного простору називається граничною точкою множини , якщо будь-який окіл точки а містить точку множини М, відмінну від а. (Точка називається граничною точкою множини, якщо в будь-якому околі точки а існують точки множини М, що відрізняються від а).

Множина граничних точок М позначається .

Відзначимо, що граничні точки множини не обов'язково належать самій множині. Точніше, має місце наступне твердження.

4°. Множина м простору замкнена тоді і тільки тоді, коли вона містить всі свої граничні точки.

Насправді, якщо М — замкнена множина, то — відкрита множина, тому, згідно теореми про всі точки відкритої множини, маємо, що будь-яка точка а цієї множини є внутрішньою точкою цієї множини і тому має хоч би один окіл , що цілком складається з точок множини . Таким чином, тому а не є граничною точкою множини М. Для доведення зворотного твердження досить показати, що відкрита множина. Але це твердження безпосередньо випливає з того, що будь-яка точка цієї множини не є граничною точкою множини М, тому має хоч би один окіл, - що цілком складається з точок множини

Точка а топологічного простору називається межовою точкою множини М, якщо в будь-якому її околі існують як точки множини М, так і точки множини R\М.

Множина всіх граничних точок називається границею множини. Множина всіх внутрішніх і межових точок множини М називається замиканням множини і позначається через .

З цього визначення безпосередньо випливає:

5°. Для будь-якої множини М маємо: .

6°. Якщо , то .

7°. Замикання будь-якої множини М є замкненою множиною.

Для обґрунтування останнього твердження досить показати, що відкрита множина. Але це твердження очевидно випливає з того, що множина не містить ні внутрішніх, ні граничних точок множини М, тому будь-яка його точка є внутрішньою.

8°. Якщо F замкнена множина і , то .

Справедливість цього твердження безпосередньо випливає з того факту, що R \F є відкритою множиною, тому жодна точка цієї множини не може бути ні внутрішньою, ні граничною точкою множини М.

З властивостей 5° і 8° випливає:

9°. Якщо М — замкнена множина, то .

Насправді, оскільки , то з 8° виходить, що . З іншого боку, з 5° випливає, що , тому .

Як наслідок із 7° і 8° отримуємо:

10°. Замикання множини М є перетин всіх замкнутих множин, що містять .