Топологічні перетворення і їх властивості

1. Відображення

Пригадаємо найпростіше визначення пов’язане з відображенням.

Нехай X і Y – довільні множини, а (1) відображення множини X на множину Y.

Позначимо через множину образів всіх точок множини X. Очевидно .

Якщо ,то називається відображення множини X на множину Y.

Відображення множини X на множину Y називається взаємно однозначним, якщо різні точки переходять при цьому відображенні в різні точки. Очевидно, що взаємно однозначне відображення (1) допускає оборотність, тобто існує єдине відображення таке, що і , де і - тотожне відображення множин X і Y.

Відображення називається оборотним для і записується .

Введемо ще ряд понять необхідних для подальшого вивчення.

Нехай (1) – дане відображення, а N – підмножина множини Y.

Повним прообразом множини N будемо називати множину всіх точок в X , образи яких при відображенні (1) містяться в N.

Зауважимо, що повний прообраз множини може бути пустою множиною.

Якщо М – точка, то її новий прообраз може бути пустою множиною, однією точкою і множиною, що складається більше як з однієї точки. Зведенням відображення (1) називається приведеним відображенням , яке визначається так: будь маємо .

Очевидно, якщо = Y, то відображення і співпадають.

Нехай дано відображення (1) і множина . Відображення називається звуженим відображенням (1), якщо для всіх маємо .

2. Неперервне відображення.

В топології важливу роль відіграє неперервне відображення, яке визначається так: Нехай X і Y – топологічні простори. Відображення (1) називається неперервним в , якщо для кожного околу площини існує такий окіл точки , що .

Відображення (1) неперервним на множині , якщо воно неперервне в точці множини М.

Відображення (1) називається, якщо воно неперервне на множині X.

Має місце теорема.

Для того, щоб відображення (1) було неперервним, необхідно і достатньо, щоб повний прообраз будь якої відкритої множини був множиною відкритою.

Доведення: Нехай (1) – неперервне відображення. -- довільна відкрита множина в Y, а N – її повний прообраз. Доведемо, що N – відкрита множина.

Необхідність.

Для цього достатньо показати, що кожна точка цієї множини є внутрішньою. Оскільки , то -- окіл точки . В силу неперервності відображення (1) існує окіл точки x, такий, що . Звідси слідує, що , а значить x – внутрішня точка.

Достатність.

Нехай x – довільна точка множини X, -- образ цієї точки, а -- будь який окіл точки . Якщо -- повний образ множини , то відкрита множина.

Очевидно, -- окіл точки x, крім того . Отже, відображення (1) неперервне в точці x.

Наслідок.

Для того, щоб відображення (1) було неперервним, необхідно і достатньо, щоб повний прообраз будь якої замкненої множини був множиною замкненою.

За теоремою легко доводяться наступні твердження:

1. Нехай X, Y, Z – топологічні простори. Якщо і неперервні, то -- неперервне.

2. Якщо відображення (1) неперервне, то для будь якої M X відображення f_m:M Y- неперервні. Це виникає з (1), якщо враховувати, що f_m = f_e, де e: відображення, при якому образ кожної точки із М співпадає із самою точкою.

3. Зведення відображення (1) тоді і тільки тоді, коли відображення (1) неперервне.

Нехай - відображення при якому образ кожної точки із співпадає з самою точкою.

Очевидно, що , тому якщо неперервне, то з (1) слідує, що -- неперервне. Обернене твердження очевидне.

4. Гомеоморфізми.

Нехай Х і У – топологічні простори.

Відображення (1) простору Х на простір У називається топологічним, якщо воно взаємно однозначне і крім того відображення і ^-1 : неперервні.

Топологічні відображення точок називається гомеоморфізмами назва від грецьких слів «омео»- однаковий і «морф»- форма. Найпростішим прикладом гомеоморфізми є тотожнє відображення при якому кожна точка множини Х переходить сама в себе.

Розглянемо ще один приклад:

Нехай Х та У – числові інтервали,

, де a і b – дійсні числа, .

Очевидно х, у – метричні простори, значить тотожні.

Легко перевірити, що відображення у = (b-a)х + а є типологічним.

Безпосередньо з поняття гомеоморфізму слідує:

1. Якщо відображення є топологічним, то відображення також є топологічним.

З прикладу 2 випливає, що:

2. Якщо і є гомеоморфізмами, то є гомеоморфізмом.

Топологічний простір Х називається гомеоморфним топологічному простору Y, якщо існує такий гомеоморфізм, при якому Х переходить в Y.

Із властивостей 1.2 слідує, що відношення гомеоморфності топологічних просторів рефлексивне, симетричні і транзитивне, тобто є відношенням співвідношеності.

Поняття гомеоморфізму легко може бути застосованим на множині точок, що належать топологічним просторам.

Нехай R₁ і R₂ – топологічні простори, а , -- довільні множини точок цих просторів.

Відображення (1) називається неперервним в точках х, якщо для будь якого околу точки в R₂ існує окіл точки х в R₁ такий, що образи всіх точок з належать аналізу .

Відображення (1) називається неперервним, якщо воно неперервне в усіх точках множини Х.

Взаємно однозначне відображення (1) множини Х на множину Y називається топологічним або гомеоморфічним, якщо відображення (1) і неперервні.

Якщо існує гомеоморфізм множини Х на множину Y, то множини Х та Y називаються гомеоморфічними.

Щоб з’ясувати чи дві множини гомеоморфні, достатньо знайти хоча б одне топологічне відображення Х на Y.

Якщо, наприклад, при топологічному відображенні маємо , то Х і Y гомеоморфні.

Складніше з’ясувати, що дві множини не гомеоморфні. Тут бувають корисними топологічні інваріанти.

Топологічним інваріантом (тополог. властивістю) називають будь-яку властивість, інваріантну відносно будь-якого топологічного відображення.

Враховуючи теорему, топологічні відображення є взаємно неперервні, робимо наступний висновок:

3. Властивість множини бути відкритою (або замкнутою) є топологічний інваріант.

Якщо у множини Х деякий топологічний інваріант присутній, а у множини Y той же інваріант відсутній, то множини Х і Y не можуть бути гомеоморфним.

Гомеоморфні множини топологічно інваріантні, з точки зору топології вони не відрізняються одна від одної.

Вивчаючи топологію будь-якого топологічного простору R ми будемо мати справу з топологічним перетворенням (відображення на себе) множини R. Ці перетворення очевидно утворять групу.