Двоичная система счисления
Это основная система счисления, в которой осуществляются арифметические и логические преобразования информации в устройствах ЭВМ. Схематично ЭВМ можно представить в виде набора электронных элементов, которые могут находиться только в двух состояниях: «включено» и «выключено». Состояниям выключателя, в которых он проводит или не проводит ток, приписывают соответственно символы 1 или 0. Совокупность состояний, характерная для некоторого набора ключей в некоторый момент времени, может рассматриваться как последовательность нулей и единиц, при помощи которой можно закодировать число, букву или какой-нибудь другой символ. Каждый разряд двоичной записи числа называется битом (сокращение английских слов binary digit, что означает «двоичная единица»). Для двоичной системы счисления d = 2 и ai = 0,1.
Пример 1
Перевод десятичная двоичная:
Десятичное число D
1. Делим D на 2. Остаток B0.
2. Частное снова делим на 2. Остаток B1.
3. Повторяем, пока не получим 1/2=0 с остатком 1. Этот последний остаток и есть старшая единица.
Пpимеp: D=154.
154/2=77, остаток=B0=0
77/2=38, остаток=B1=1
38/2=19, остаток=B2=0
19/2=9, остаток=B3=1
9/2=4, остаток=B4=1
4/2=2, остаток=B5=0
2/2=1, остаток=B6=0
1/2=0, остаток=B7=1.
Итак, 154 = 10011010.
Шестнадцатеричная система счисления
Эта система имеет основание d = 16 и ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F .При таком изображении цифр в шестнадцатеричной системе счисления буква A изображает десять, B – одиннадцать, C – двенадцать, D – тринадцать, E – четырнадцать и F – пятнадцать. Эта система применяется в вычислительной технике для сокращения записи двоичных чисел, или как средство кодирования двоичных чисел и является компромиссом между тем, что удобно машине, и тем, что удобно пользователю. Так как наиболее распространенная единица информации – это байт (8 бит), то шестнадцатеричная система может легко представить все биты в байте с помощью всего 2 шестнадцатеричных цифр, каждая из которых обозначает 4 из 8 битов одного байта. Пример: двоичное число (10011010,11111111)2 можно записать в шестнадцатеричном представлении как (9А,FF)16 .
Пример 2
Перевод из двоичной системы исчисления в 16-тиричную осуществляется по таблице для каждых 4-х двоичных единиц:
0000=0 0001=1 0010=2 0011=3
0100=4 0101=5 0110=6 0111=7
1000=8 1001=9 1010=A 1011=B
1100=C 1101=D 1110=E 1111=F
Например: число 111010110 = 0001'1101'0110 = 1D6
Восьмеричная система счисления
Восьмеричная система имеет основание d = 8 и ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 . Она служит для тех же целей, что и шестнадцатеричная. В настоящее время восьмеричная система широко используется в операционной системе Unix.
Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую
Любое число из системы счисления с произвольным основанием может быть переведено в десятичную при помощи разложения по степеням основания системы по формуле (2). При этом как для основания системы, так и для весовых коэффициентов надо брать их десятичные эквиваленты.
Задача 1:
Перевести в 10-ю систему счисления двоичное число (1000101)2.
Решение:
Для решения запишем над коэффициентами числа соответствующие степени основания и воспользуемся формулой (2).
Задача 2:
Перевести в 10-ю систему счисления восьмеричное число (726,15)8 и шестнадцатеричное число (10А.F)16 .
Решение:
