Представление чисел в произвольных позиционных системах счисления

В позиционной системе счисления любое число, имеющее вид

Ad = ± an an-1 an-2 … a1 a0 ,b-1 … b- m , (1)

где n, m – целые числа (количество разрядов в целой и дробной части числа);a_i - цифра i-го разряда целой части; b_i - цифра i-го разряда дробной части, d - основание системы; i – порядковый номер разряда, может быть представлено в виде следующей суммы:

Ad = an d n + an-1 d n-1 + …+ a1 d 1 + a0 d 0 + b-1 d -1 + …+b- m d –m (2)

Пример: (десятичная система, d = 10)

(249,25)10 = 2×102 + 4×101 + 9×100 + 2×10-1 + 5×10-2 .

Замечание: обозначение (…)d указывает на то, что в число в круглых скобках записано в системе счисления с основанием d.

Перевод целого числа из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления. При переводе целого числа из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления, нужно это число последовательно делить на основание новой системы счисления так, чтобы в остатках от деления были только символы новой системы счисления. Число в новой системе счисления записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего. Например, переведём число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

Таким образом, число 75₁₀ = 1001011₂ = 113₈ = 4В₁₆

Перевод дробной части числа из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления

При переводе дробной части числа из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления, нужно дробную часть числа последовательно умножать на основание новой системы счисления. Дробная часть числа в новой системе счисления записывается как последовательность целых частей от умножения, записанных в прямом порядке, начиная с первого.

Например, переведём дробное число 0,96 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

Таким образом, число 0,96₁₀ = 0,111101₂ = 0,75341₈ = 0.F5C28F₁₆

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

При переводе числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления нужно каждый символ этого числа умножить на основание системы счисления, в которой записано это число, в степени соответствующей положению символа в записи числа и все произведения сложить.

Например:

1) переведём число 101100, 1011₂ из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления:

101100,101₂ = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 0*2⁰ + 1*2^-1 + 0*2^-2 + 1*2^-3 = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 0 + 0,5 + 0 + 0,125 = 44,62510

2) переведём число 375,624₈ из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления:

375, 624₈ = 3*8² + 7*8¹ + 5*8⁰ + 6*8^-1 + 2*8^-2 + 4*8-³ = 192 + 56 + 5 + 0,75 + 0,03125 + 0,00781835938 = 253,78906835938₁₀

3) переведём число ACF,5D₁₆

ACF,5D₁₆= 10*16² + 12*16¹ + 15*16⁰ + 5*16^-1 + 13*16^-2 = 256 + 192 + 15 + 0,3125 + 0,050775 = 463,363275₁₀