Системы счисления

Введение

1. Основные понятия

1.1 Представление чисел в произвольных позиционных системах счисления

1.2 Двоичная система счисления

1.3 Шестнадцатеричная система счисления

1.4 Восьмеричная система счисления

2. Сводная таблица переводов целых чисел

3. Арифметические действия в различных системах счисления

4. Перевод дробных чисел

Введение

В повседневной жизни мы используем десятичную систему счисления, в которой имеется десять базовых цифр от 0 до 9, на основе которых можно построить все остальные числа. Но эта система не является единственной, пример тому – наименования числительных (в давние времена), когда люди считали дюжинами, т.е. использовали 12 различных знаков для записи числа. Одним из главных достоинств этой системы было удобство деления на 2, 3, 4 и 6. Если в русском языке числа 11 и 12 – это 1+10 и 2+10 соответственно, то до сих пор в английском и немецком языках для них существуют специальные слова: 11 – eleven и elf, а 12 – twelve и zwölf. А в древнем Вавилоне астрономы использовали систему счисления с основанием 60, и, по-видимому именно в этом обстоятельстве следует искать объяснение того факта, что час и угловой градус разделены на 60 минут.

С математической точки зрения для записи одного и того же числа можно использовать любое (но не меньшее двух) количество символов. Изучение различных систем счисления, которые используются в компьютерах, и арифметических операций над ними очень важно для понимания того, каким образом производится обработка информации в вычислительных машинах.

Основные понятия

Система счисления – совокупность приемов и правил для изображения чисел с помощью символов (цифр), имеющих определенные количественные значения. Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.

Непозиционной системой счисления называется такая, в кото-рой количественное значение каждой цифры не зависит от занимаемой ею позиции (места) в изображении числа, а определяется лишь самим символом (цифрой). Примером такой системы является римская систе-ма счисления, в которой: I - 1 , V - 5 , X - 10 , L - 50 , C - 100 , D - 500 , M - 1000

Позиционной системой счисления называется такая система, в которой количественное значение каждой цифры зависит от ее позиции (места) в числе. Любое число в позиционной системе не считая край-них нулей, можно представить единственным образом. Крайняя слева цифра называется цифрой старшего разряда, крайняя справа – цифрой младшего разряда. Позиции каждой цифры в числе присвоен опреде-ленный вес d i-1 , где i – номер разряда.

Пример 1

Число 373, представленное в десятичной системе счисления, имеет в младшем и самом старшем разрядах цифру 3. Цифра 3 в старшем разряде имеет вес в 100 раз больше, чем в младшем разряде. 2) Число ХХХ, в римской системе счисления означающее 30, во всех разрядах имеет одинаковые цифры Х, а результат получается путем выполнения арифметических действий (в данном случае сложения) над ними: ХХХ = Х + Х + Х = 10 + 10 +10 = 30. Основанием системы счисления d называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной позиционной системе счисления. За основание d можно принять любое число, большее единицы (так как в этом случае в ней был бы один символ 0, который может указать позицию цифры, но количественного значения не имеет).