2.3.4.5. Основы релятивистской динамики

1. Релятивистский импульс

Уравнение движения материальной точки в классической механике, имеющее вид

dp/dt = F , (2.3.18)

где

p = mv (2.3.19)

– импульс, F – сила, инвариантно относительно преобразований Галилея, но неинвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца, что противоречит принципу относительности. Релятивистское уравнение движения материальной точки (частицы), инвариантное относительно преобразований Лоренца, имеет вид

, (2.3.20)

где m₀ - масса покоя частицы, одинаковая во всех системах отсчета. Это уравнение является обобщением уравнения движения Ньютона (2.3.18). Сравнивая выражения (2.3.18) и (2.3.20), получаем выражение для релятивистского импульса частицы

. (2.3.21)

2.Зависимость массы от скорости

Из сравнения выражений (2.3.19) и (2.3.21) следует, что в теории относительности масса зависит от скорости

. (2.3.22)

Величину m называют релятивистской массой, а m₀ – массой покоя. Релятивистская масса, так же как и нерелятивистская, характеризует инертность частицы, но в отличие нерелятивистской (классической) массы она зависит от скорости. Масса покоя измеряется в той инерциальной системе отсчета, относительно которой частица покоится. Зависимость релятивистской массы от скорости подтверждается экспериментально.

При движении автомобиля со скоростью 80 км/час релятивистская масса отличается от массы покоя на 3‧10^-13 %. При движении самолета со скоростью 1000 км/час это отличие составляет 0,5‧10^-12 %. Для электрона с энергией 100 кэВ, движущегося со скоростью v = 0,6c , релятивистская масса отличается от массы покоя уже на 20%. Для протона, движущегося со скоростью v = 0,8 c, отличие составляет 100 %, т.е. релятивистская масса в два раза больше массы покоя, а для протона, движущегося со скоростью v = 0,995c, релятивистская масса в 10 раз больше массы покоя.

За счет чего растет масса? Разложим выражение (2.3.22) в ряд, пренебрегая членами второго порядка малости:

. (2.3.23)

Из выражения (2.3.23) следует, что приращение массы , где Ek – кинетическая энергия частицы.

При движении с малыми скоростями, когда v << c, уравнения (2.3.20), (2.3.21), (2.3.22) переходят в уравнения классической механики, т.е. законы классической механики получаются из релятивистских законов как предельный случай.

Увеличение массы не следует понимать как увеличение «количества вещества» в движущемся теле. С телом ничего не происходит. Просто чем быстрее движется тело, тем труднее изменить его скорость, а это означает увеличение инертности тела, мерой которого является масса.

3. Взаимосвязь массы и энергии

Одним из фундаментальных положений теории относительности является установленное Эйнштейном соотношение между массой и энергией частицы:

=mc², (2.3.24)

где Е – полная энергия частицы. Если частица покоится (v = 0), то в соответствии с формулой (2.3.24) она обладает энергией

Е₀ = m₀c² , (2.3.25)

которая называется энергией покоя. Энергия покоя представляет собой внутреннюю энергию частицы, не связанную с движением частицы как целого. В энергию покоя и в полную энергию не входит потенциальная энергия во внешнем силовом поле. При малых скоростях движения . Поэтому, разложив выражение (2.3.24) в ряд и пренебрегая членами второго порядка малости, получим

E_k. (2.3.26)

Таким образом, полная энергия частицы представляет собой сумму энергии покоя и кинетической энергии частицы. Поэтому кинетическая энергия частицы, движущейся с произвольной скоростью, определяется формулой

E_k = E – E₀ = . (2.3.27)

При малых скоростях это выражение с учетом (2.3.26) переходит в классическое выражение для кинетической энергии

E_k = .

Соотношение между массой и энергией связывает между собой две важнейшие характеристики материи: инертность и энергию. Всякое изменение энергии частицы сопровождается изменением ее массы. Закон взаимосвязи массы и энергии подтверждает неразрывную связь материи и движения.

Релятивистский подход к вопросу об энергии тела отличается от классического. В соответствии с СТО даже неподвижное тело массы m₀, не находящееся в каких-либо внешних силовых полях, обладает энергией покоя E= m₀c². Эту энергию можно трактовать как «внутреннюю « энергию тела.

Исключив из формул (2.3.21) и (2.3.24) скорость v, получим выражение, связывающее между собой энергию и импульс частицы:

Е = . (2.3.28)

Это выражение можно преобразовать к следующему виду:

E² – p²c² = m₀²c⁴. (2.3.29)

Так как масса покоя и скорость света в вакууме имеют одни и те же значения во всех системах отсчета, то выражение

E² – p²c² = inv, (2.3.30)

т.е. не изменяет своей величины при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, является инвариантным относительно преобразований Лоренца. В релятивистской механике энергия и импульс являются компонентами единого четырехмерного вектора энергии-импульса.