3. Соответствие закону нормального распределения.

Распределение случайной величины, при котором ее возможные отклонения от средней величины в равной степени вероятны как в положительную, так и в отрицательную сторону.

Для количественной оценки степени отклонения информации от нормального распределения служат:

- отношение показателя асимметрии к ее ошибке;

Показатель асимметрии (А) и его ошибка (m_a) рассчитываются по следующим формулам:

Коэффициент асимметрии характеризует скошенность распределения.

В симметричном распределении А = 0.

Отклонение от нуля указывает на наличие асимметрии в распределении данных около средней величины.

А < 0, отрицательная асимметрия свидетельствует о том, что преобладают данные с большими значениями, а с меньшими значениями встречаются значительно реже. Левосторонняя асимметрия.

А > 0, положительная асимметрия показывает, что чаще встречаются данные с небольшими значениями. Правосторонняя асимметрия.

- отношение показателя эксцесса (E) к его ошибке (m_e).

Показатель эксцесса и его ошибка рассчитываются по след формулам:

Коэффициент эксцесса характеризует островершинность распределения. Чем он выше, тем островершинее распределение.

В нормальном распределении показатель эксцесса Е = 0.

Если Е > 0, то данные густо сгруппированы около средней, образуя островершинность.

Если Е < 0, то кривая распределения будет плосковершинной.

Однако, если отношения А/m_a и E/m_e меньше 3, то асимметрия и эксцесс не имеют существенного значения и исследуемая информация соответствует закону нормального распределения.

Следовательно, ее можно использовать для корреляционного анализа.

3. Изучается характер и моделируется связь между факторными и результативными показателями.

То есть подбирается и обосновывается математическое уравнение, которое наиболее точно выражает сущность исследуемой зависимости. Для его обоснования используются те же приемы, что и для установления наличия связи: аналитические группировки, линейные графики и др.

Зависимость результативного показателя от определяющих его факторов можно выразить уравнением парной и множественной регрессии.

Регрессия в общем случае показывает, как в среднем изменится результативный признак (Y), если факторный признак (X) увеличится на единицу.

При прямолинейной форме они имеют следующий вид:

Уравнение парной регрессии:

Y_x = a₀ + а₁x;

Уравнение множественной регрессии:

Y_x = a₀ + а₁x₁ + а₂x₂ + … + а_nx_n,

где

a – свободный член уравнения при х = 0;

x₁, x₂, x_n – факторы, определяющие уровень изучаемого результативного показателя;

а₁, а₂, а_n – коэффициенты регрессии при факторных показателях, характеризующие уровень влияния каждого фактора на результативный показатель в абсолютном выражении.

Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии имеет следующий вид:

n a₀ + a₁ Σ x = Σ y;

a₀ Σ x + a₁ Σ x² = Σ xy,

где

n – число наблюдений.

Если связь между результативным и факторным показателями носит криволинейный характер, то могут быть использованы следующие математические функции:

- полулогарифмическая

y_x = a₀ + a₁ lg x

- показательная

y_x = a₀ + a₁^x

- степенная

y_x = a₀ х^a1

- параболическая

y_x = a₀ + a₁ x + a₂ x

- гиперболическая

y_x = a₀ + a₁ 1/x

другие.¹

В случаях, когда сложно обосновать форму зависимости, решение задачи можно провести по разным моделям и сравнить полученные результаты. Адекватность разных моделей фактическим зависимостям проверяется по:

- критерию Фишера,

- показателю средней ошибки аппроксимации,

- величине множественного коэффициента детерминации.

4. Проводится расчет основных показателей связи корреляционного анализа: уравнение связи, коэффициентов корреляции, детерминации, эластичности и др.

Расчет уравнения связи сводится к определению параметров а₀ и а₁, с учетом существующей зависимости (линейной, параболической, гиперболической и др.)

Для измерения тесноты связи между факторным и результативным показателем исчисляется коэффициент корреляции.

При прямолинейной форме связи между изучаемыми показателями он рассчитывается по следующей формуле:

Коэффициент может принимать значения от 0 до 1.

Чем ближе его величина к единице, тем более тесная связь между изучаемыми явлениями.

Если коэффициент корреляции возвести в квадрат, то получим коэффициент детерминации (d).

Он отражает относительную зависимость результативного показателя от изучаемого фактора.

При криволинейной форме зависимости для измерения тесноты связи используется корреляционное отношение:

Решение задач многофакторного корреляционного анализа проводится на ПЭВМ по типовым программам.

5. Статистическая оценка и практическое использование результатов корреляционного анализа.

Для определения надежности показателей связи и правомерности их использования используют:

- критерий Стьюдента (t)

Критерий Стьюдента – позволяет оценить надежность коэффициентов корреляции, которая зависит от объема исследуемой выборки данных.

Где

Если расчетное значение t выше табличного, то можно сделать вывод о том, что величина коэффициента корреляции является значимой.

Табличные значения t находят по таблице значений Стьюдента.

При этом учитываются количество степеней свободы (V = n – 1) и уровень доверительной вероятности (в экономических расчетах обычно 0,05 или 0,01).

- критерий Фишера (F – отношение)

Критерий Фишера позволяет оценить надежность уравнения связи, расчетная величина которого сравнивается с табличным значением.

Если F_расч > F_табл, то гипотеза об отсутствии связи между исследуемыми показателями отвергается.

- средняя ошибка аппроксимации (ε)

Средняя ошибка аппроксимации позволяет оценить точность уравнения связи.

Чем меньше теоретическая линия регрессии (рассчитанная по уравнению) отклоняется от фактической, тем меньшее ее величина, а это свидетельствует о правильности подбора формы уравнения связи.

В экономических расчетах допускаемая погрешность находится в пределах 5-8%.

- коэффициенты множественной корреляции (R)

Данный коэффициент позволяет судить о полноте связи. Если его значение близко единице, значит, в корреляционную модель удалось включить наиболее существенные факторы, на долю которых приходится основная вариация результативного показателя.

- коэффициент детерминации (D) (аналогично коэффициенту множественной корреляции).

Результаты многофакторного регрессионного анализ могут быть использованы также для планирования и прогнозирования уровня результативного показателя.

Для этого необходимо в уравнение связи поставить плановый (прогнозный) уровень факторных показателей.

Таким образом, многофакторный корреляционный анализ имеет важную научную и практическую значимость. С установлением места и роли каждого фактора в формировании уровня исследуемых показателей точнее обосновываются планы и управленческие решения, объективные оцениваются итоги деятельности предприятий и полнее определяются внутрихозяйственные резервы.

1 Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: Учебник / Под ред. О.Э. Башиной, А.А. Спирина – М.: Финансы и статистика, 2006. – с. 333-334.

1 Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: Учебник / Под ред. О.Э. Башиной, А.А. Спирина – М.: Финансы и статистика, 2006. – с. 337.

13