7.2 Уравнения движения
Одна из основных задач классической механики - задача прогнозирования движения различных тел и сред – решается на основе математической модели механического движения, которая представляет собой систему дифференциальных уравнений относительно координат и скоростей движущегося объекта. С помощью дифференциальных моделей решается большинство задач механики, гидродинамики, электродинамики и др.
Принцип независимости действия сил: если на материальную точку одновременно действует несколько сил, то каждая из них сообщает точке ускорение, определяемое 2-м законом Ньютона так, как если бы других сил не было, результирующее ускорение определяется действием результирующей силы.
Пример проекции сил.
Тело может находиться в равновесии, если сумма проекций приложенных к нему сил на любое направление равна нулю.
F1x = x1 – x2, F2x = x2 – x3, F3х = x3 – x1. При равновесии сумма проекций сил равна нулю: F1x + F2x + F3х = 0.
|
Действие трех сил на тело.
Действующие силы: тяжести P = Mg, натяжения нити Т = mg, реакции (ограничивают движение тела) R. P2 = Psinα = Mgsinα Равновесие обеспечивается при Т = Р2, R = Р1. Тогда условие равновесия: Mgsinα = mg, Msinα = m.
|
В
ращение
тела вокруг жесткой оси. Если сила F
не проходит через ось вращения – на
тело действует сила вращения. Сила F1,
которая проходит через ось вращения
тела уравновешивается силой реакции
R = F2.
Вращение – только под действием силы
F1,
перпендикулярной линии, проходящей
через точку А приложения силы и ось
вращения О.
Для равновесия тела, закрепленного на оси, существенен не сам модуль силы, а произведение модуля на расстояние (плечо) – момент силы относительно оси: M = F1r. Если момент равен нулю – сила не вызывает вращения.
Согласно законам Ньютона все изменения состояния движения вызываются силами.
Уравнения движения определяют соотношения между скоростью, перемещением и временем.
Силу, как и любой вектор можно спроектировать на любую ось.
Уравнение движения материальной точки (системы точек) определяет связь ускорения wi и силы Fi, называется дифференциальным уравнением движения точки, и записывается в соответствии со вторым законом Ньютона:
mid2
/
dt2
=
i
(
,
d
/dt,
t), i =
1,. . ., N,
где mi - масса материальной точки, t > 0 – время, - ее радиус-вектор, i - результирующая всех действующих на нее сил. Через обозначено множество координат всех точек системы. Величины i считаются заданными и могут зависеть как от времени, так и от пространственных координат и скоростей всех рассматриваемых точек.
Величины i считаются заданными и могут зависеть как от времени, так и от пространственных координат и скоростей всех рассматриваемых точек.
Силу, как и любой вектор, можно спроектировать на любую ось. Проекция вектора на ось равна разности координат начала и конца отрезка:
m
,
m
,
m
.
Различают два вида движения: поступательное и вращательное.