Статические и динамические модели

Существенным признаком классификации моделей является их возможность описывать изменения параметров объекта во времени.

Статичный или динамичный характер системы (что отображается в модели) определяется в зависимости от целей моделирования. При построении модели основным является сравнение времени существенных изменений внешних воздействий и соответствующих характерных временных переходов объекта в новое равновесное состояние с окружающей средой и между элементами внутри системы.

В статической модели можно выделить важнейшие свойства и параметры (или сочетания), определяющие качество системы, не зависящие от времени (надежность, стоимость, долговечность и др.). В статической модели объект сохраняет состояние равновесия: параметры остаются постоянными при постоянных внешних воздействиях.

Модель называется статической, если среди параметров, участвующих в описании модели, нет временного параметра. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь «фотографию» системы, ее срез.

Закон Ньютона F = ma — это статическая модель движущейся с ускорением а материальной точки массой т. Эта модель не учитывает изменение ускорения от одной точки к другой.

При таком подходе можно ставить оптимизационные задачи по критерию, выраженному этой функцией. В случае линейной целевой функции, линейных неравенств, линейной математической модели задачи технико-экономического содержания (например, распределение ресурсов) решаются как задачи линейного программирования.

Если изменения параметров во времени происходят столь медленно, что ними можно пренебречь, то такую модель называют квазистатической.

Модель динамическая, если среди параметров модели есть временной параметр, т. е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.

В динамической модели от времени зависят независимые переменные (параметр процесса), неизвестные функции (фазовые переменные), характеризующие состояние системы (перемещения, скорости, ускорения элементов системы, силы и моменты, давление и расход жидкости в трубопроводе, напряжение и сила тока в электрической сети и др.).

Модель S = gt^z/2 — динамическая модель пути при свободном падении тела. Динамическая модель типа закона Ньютона: F(t) = a(t)m(t). Еще лучшей формой динамической модели Ньютона является: F(t) = s"(t)m(t).

Динамические модели позволяют рассчитать стационарные или нестационарные режимы объектов. Стандартные динамические модели включают переменные и соотношения между ними:

- вектор независимых переменных X;

- добавочную независимую переменную t, называемую временем, хотя она может не представлять физическую временную размерность;

- вектор неизвестных параметров;

- вектор переменных Y состояния системы, зависящий от t, X и Z.

Эти функции, например, определяются неявно с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка;

- вектор наблюдаемых переменных Z, точными значениями которых ZT являются заданные функции от переменных состояния и от других переменных: ZT = Zr(t, X, Y,).

Общеизвестный специальный случай – переменные состояния наблюдаются непосредственно, т.е. Z = Y.

Стандартные динамические модели характеризуются множеством переменных состояния системы, которые изменяются со временем (или в зависимости от некоторой другой независимой переменной) в соответствии с определенными дифференциальными уравнениями первого порядка. Начальные условия могут быть известны полностью или частично.

Различают два основных типа динамических систем:

– с дискретными состояниями (множество состояний конечно или счетно);

– с непрерывным множеством состояний.

Системы с дискретными состояниями характеризуются тем, что в любой момент времени можно однозначно определить, в каком именно состоянии находится система. Для такой идентификации обязательно нужно знать тот признак, который отличает одно состояние системы от другого. Например, при исследовании систем массового обслуживания в качестве такого признака обычно используют число заявок в системе. Соответственно, изменение числа заявок в системе интерпретируется как переход системы в новое состояние.

Если же не удается подобрать такой признак, либо его текущее значение невозможно зафиксировать, то систему относят к классу систем с непрерывным множеством состояний.

Смена состояний может происходить либо в фиксированные моменты времени, множество которых дискретно (например, поступление новых заявок на обслуживание), либо непрерывно (изменение температуры тела при нагревании). В соответствии с этим различают системы с дискретным временем переходов (смены состояний) и системы с непрерывным временем переходов (точнее, «живущие» в непрерывном времени).

По условиям перехода из одного состояния в другое различают детерминированные системы и стохастические.

В детерминированных системах новое состояние зависит только от времени и текущего состояния системы. Другими словами, если имеются условия, определяющие переход системы в новое состояние, то для детерминированной системы можно однозначно указать, в какое именно состояние она перейдет.

Для стохастической системы можно указать лишь множество возможных состояний перехода и, в некоторых случаях, - вероятностные характеристики перехода в каждое из этих состояний.

Состояние системы наблюдается в различные моменты времени, но иногда переменные состояния не являются непосредственно измеряемыми, и вместо них приходится измерять связанные с ними наблюдаемые переменные. Неизвестные параметры могут появляться в начальных условиях, в дифференциальных уравнениях и в уравнениях наблюдений. В последнем случае они представляют неизвестные характеристики измерительных приборов, например константы калибровки.

Если в модели объекта содержатся дифференциальные уравнения порядка выше первого, сложность их анализа возрастает с ростом порядка уравнения (или с ростом числа дифференциальных уравнений в системе, поскольку уравнение т-го порядка можно преобразовать в систему из т уравнений 1-го порядка). Другая трудность, возникающая иногда при анализе систем дифференциальных уравнений, связана с особенностями задания начальных условий.

Чаще всего начальные условия задаются при одном и том же значении независимой переменной.

Для протекания химических реакций, например, начальными условиями обычно служат значения концентраций в один и тот же момент t = 0; в описаниях реакторов – это концентрации и температура в одной и той же точке на входе в аппарат.

Задачи с начальными условиями, заданными таким образом, называются задачами Коши.

Задачи, в которых различные начальные условия заданы в разных точках. Это краевые задачи.

Например, во многих аппаратах с противотоком часть условий может быть задана со стороны входа одного потока, часть – со стороны входа другого.

Основная форма динамической математической модели - дифференциальные уравнения.