2.3 Требования к построению модели

Требования к модели определяются исходя из ее основного свойства - модель должна обладать существенными признаками объекта моделирования и быть работоспособной. Работоспособность модели означает возможность ее использования по назначению в соответствующей среде ("исследователь – ЭВМ – окружающая среда"), реализующей необходимые условия функционирования модели.

Принципы и подходы к построению математических моделей

Принципы определяют те общие требования, которым должна удовлетворять правильно построенная модель. Рассмотрим эти принципы.

1. Модель должна строиться исходя из цели исследования системы (явления, процесса) и соответствия цели точности результатов моделирования.

2. Соответствие целям исследования для решения конкретного класса задач, исходя из которых выбираются существенные свойства системы.

Попытки создания универсальной модели, нацеленной на решение большого числа разнообразных задач, приводят к такому усложнению, что она оказывается практически непригодной. Строить модель, приближающуюся по сложности к реальной системе не имеет смысла.

3. Абстрагирования от второстепенных деталей - упрощение при сохранении существенных свойств системы. Детализация модели определяется необходимой точностью решения задачи для достижения цели исследования.

Модель должна быть в некоторых отношениях проще прототипа и соответствовать реальной системе по уровню сложности исходя из выбранного множества свойств - игнорируются менее существенные свойства, не оказывающие влияния на решение поставленной задачи, детально рассматриваются основные исследуемые свойства.

4. Блочная структура модели и минимальные связи между блоками с учетом разделения модели по этапам и режимам функционирования системы.

Это дает возможность использования накопленного опыта в процессе отработки модели и многовариантной реализации блоков, отличающихся по точности и сложности, - построения ансамбля моделей.

Адекватность и достоверность модели

Модель адекватна (adaequatus – приравненный) объекту, если результаты моделирования удовлетворяют исследователя по заданной степени точности и могут служить основой для прогнозирования поведения или свойств исследуемого объекта. Адекватность модели зависит от целей моделирования и принятых критериев оценки выполнения целей.

Предпочтительна та модель, которая, позволяя достичь желаемых результатов, является более простой. При этом адекватность и простота не являются противоречивыми требованиями.

Для объекта любой сложности, можно предположить существование множества его моделей, различающихся по степени полноты, адекватности и простоты. Учитывая заложенную при создании неполноту модели, можно утверждать, что идеально адекватная модель принципиально невозможна.

Адекватность - качественное и количественное совпадение именно тех характеристик модели с объектом, которые важны в данном конкретном случае, и в той мере, в которой это достаточно для достижения цели исследования (степень соответствия действительности предсказаний, сделанных на основе модели исходя из целей моделирования).

Оценка адекватности математической модели – определяется степень соответствия результатов, полученных по разработанной модели, данным эксперимента или тестовой задачи.

Модель, адекватная при анализе одних характеристик, может быть неадекватна при анализе других.

Вопрос, что является для данной модели существенным, а что нет, решается неформально на основе качественного анализа и с помощью количественных вычислений при проверке модели.

Требование реализуемости модели заставляет сокращать число учитываемых факторов за счет их ранжирования по степени влияния на адекватность модели, что осуществляется при решении каждой конкретной задачи на каждом уровне.

Забвение того, что всякая адекватность математической модели реальному объекту лишь относительна и имеет свои рамки применимости, может привести к грубым ошибкам, основанным на бесконтрольном приписывании реальному объекту свойств его модели.

В сложных случаях мы можем говорить об адекватности лишь с некоторой долей уверенности. Эта уверенность повышается, если следствия из принятой модели хорошо согласуются с надежно установленными фактами или физическим экспериментом.

Довольно часто бывает, что модель, построенная для изучения некоторых свойств объекта, адекватность которой установлена по отношению к этим свойствам, оказывается адекватной и по отношению к каким-то другим свойствам.

Говоря о математической модели и ее адекватности, часто не упоминают о том, какие именно свойства объекта моделируются. При этом нельзя забывать о принципиальной ограниченности области возможного применения любой математической модели.

Качественная адекватность модели (адекватность функционального описания) - соответствие характера реакции системы и модели на изменения входных параметров. Качественная адекватность предполагает оценку совпадения с экспериментальными данными вида функции (убывающая или возрастающая, с одним или несколькими экстремумами).

Понятию качественной адекватности близко понятие достоверности.

Понятию качественной адекватности близко понятие достоверности. Достоверность (полнота) модели: отражение в достаточной мере именно тех характеристик и особенностей моделируемого объекта, которые соответствуют поставленной цели исследования.

Еще одна неформальная, загадочная форма подтверждения достоверности – красота - уверенность, что красиво, то достоверно (красота формы самолета).

Каждая модель содержит условия своей истинности явно, например, в форме допущений и предположений, или неявно, что можно обнаружить, испытывая модель.

Для оценки достоверности необходимо выявить: что известно точно (достоверно), что – с оцениваемой степенью неопределенности (например, с известной вероятностью для стохастических моделей), что можно считать достоверным только при выполнении определенных условий, что известно о том, что неизвестно.

С одной стороны, при создании модели необходимо обеспечить способность модели отображать свойства системы истинно, полно и точно, с другой стороны – обеспечить простоту, умеренную сложность модели для ее приемлемой реализуемости. Эти противоречивые требования решаются неформально - в зависимости от поставленной задачи.

Требование достоверности вынуждает строить модель как можно более полную, точную – учитывать больше факторов на каждом уровне, увеличивать количество уровней иерархии.

С понятием достоверности связано прежде всего понятие упрощенности моделей – приближенностью отображения действительности – различия неизбежны – модель это другой объект (единственной совершенно точной картой местности является сама местность). Различие само по себе не может быть ни большим, ни малым: само по себе оно либо есть, либо его нет. Величину, меру, степень приемлемости различия можно ввести только соотнося его с целью моделирования. Пример: различная точность часов для различных целей.

Количественная адекватность модели - соответствие количественных характеристик тем частным случаям, для которых уже имеются фактические данные или апробированные на практике модели – соответствие выходов модели и объекта при одинаковых условиях с заданной точностью. Количественная адекватность модели (мера адекватности) оценивается в зависимости от заданной точности решения задачи (определяется целью исследований) - осуществляется оценка принятых гипотез и допущений для различных начальных условий. Модель считается адекватной, если она отражает заданные свойства объекта с приемлемой точностью (с относительной погрешностью не более некоторого заданного значения).

Понятия достоверности и адекватности являются условными, поскольку мы не можем рассчитывать на полное соответствие модели реальному объекту, иначе это был бы сам объект, а не модель. Поэтому в процессе моделирования следует учитывать адекватность не модели вообще, а именно тех ее свойств, которые являются существенными с точки зрения проводимого исследования. В процессе проверки модели необходимо установить включение в модель всех существенных факторов. Сложность решения этой проблемы зависит от сложности решаемой задачи.

Адекватность модели может не удовлетворять исследователя по многим причинам: из-за идеализации внешних условий и режимов функционирования; исключения тех или иных параметров; пренебрежения некоторыми случайными факторами. Отсутствие точных сведений о внешних воздействиях, определенных нюансах структуры системы, принятые аппроксимации, интерполяции, предположения и гипотезы также ведут к уменьшению соответствия между моделью и системой. Это приводит к тому, что результаты моделирования будут существенно отличаться от реальных.

Простейшей мерой адекватности может служить отклонение некоторой характеристики оригинала и модели,

или

Тогда можно считать, что модель адекватна с системой, если вероятность того, что отклонение не превышает предельной величины , больше допустимой вероятности :

Практическое использование данного критерия адекватности зачастую невозможно по следующим причинам:

- для проектируемых или модернизируемых систем отсутствует информация о значении характеристики ;

- система оценивается не по одной, а по множеству характеристик, у котолрых может быть разная величина отклонения;

- характеристики могут быть случайными величинами и функциями, а часто и нестационарными;

- отсутствует возможность априорного точного задания предельных отклонений и допустимых вероятностей .

Понятие адекватности включает в себя понятия устойчивости и точности модели.

Устойчивость математической модели - изменение в определенных пределах параметров модели не вызывает качественного изменения ее свойств.

Точность математической модели — ее свойство, отражающее степень совпадения предсказанных с ее помощью значений параметров объекта с истинными значениями этих параметров. Точность модели тесно связана с понятием количественной адекватности.

Истинные значения параметров объекта обычно отождествляют с экспериментами полученными на модели (в том числе в результате вычислительного эксперимента). Однако погрешности эксперимента во многих случаях оказываются соизмеримыми с погрешностями математической модели а иногда и заметно их превышают.

Пусть объект характеризуется n выходными параметрами У = (У₁ , У₂ , …У_i ,…У_n ). Пусть У_i^м и У_i^р - найденное при помощи матмодели и реальное значения i-го выходного параметра. Точность оценивается относительной погрешностью ε = У_i ^м - У_i ^р / У_i ^р , i = 1, n.

Уточнение модели состоит в том, что в базовый (грубый) вариант модели, добавляются детали, пока модель не достигнет желаемого качества (необходимой точности).

Универсальность – полнота отображения свойств реального объекта, возможность использования модели для группы однотипных объектов и режимов их функционирования.

Увеличение универсальности (расширение группы объектов, для которых может использоваться модель) значительно усложняют модель.

Требования адекватности, экономичности, универсальности противоречат друг другу. Поскольку качество любого объекта проявляется во множестве взаимосвязанных между собой свойств, адекватная модель должна отображать как можно больше свойств.

Стремление во всех случаях обеспечить максимальное внешнее правдоподобие может привести к существенным упрощениям, необходимым для реализации модели. И, наоборот, могут быть разработаны модели, в которых при небольшом внешнем правдоподобии используются весьма точные математические методы.