8.2.4. Линейные неоднородные обыкновенные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами.

Этот тип уравнения имеет вид:

,

где a_i – постоянные действительные коэффициенты, i=0,1,2,…,n, f(x) – правая часть уравнения, непрерывна на некотором интервале (a,b).

Если функция f(x) – правая часть уравнения – имеет специальный^*) вид, то решение таких уравнений может быть найдено методом неопределенных коэффициентов.

Общий вид правой части , где и - многочлены m-ой и n-ой степеней соответственно.

П ример:

1. , это значит , т.к. , то P_n(x) вообще говоря может быть многочленом любой степени, но удобнее считать P_n(x)=0, а значит n=0.

2. , это значит .

Теорема. Общим решением линейного неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами есть ,

- общее решение соответствующего однородного уравнения (т.е. правая часть f(x)=0 );

- какое-либо частное решение данного уравнения, определяемое видом правой части.

Теорема. Если правая часть уравнения имеет вид , то частное решение имеет вид , где число показывает, сколько раз встречается среди корней соответствующего характеристического уравнения; - многочлены -ой степени с неизвестными коэффициентами, .

Обе теоремы приводятся без доказательства.

Итак, схема решения рассматриваемого типа уравнения:

• на первом этапе находится общее решение соответствующего однородного уравнения ;

• на втором: по виду правой части определяется вид , и находятся/вычисляются неизвестные коэффициенты, входящие в ;

• записывается общее решение .

Заметим, что если по заданию нужно решать еще и задачу Коши (т.е. заданы начальные условия), то, понятно, что сделать это возможно только после нахождения общего решения заданного уравнения.

П ример. Решить уравнение при начальных условиях

Решение.

Это линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение высшего (третьего) порядка с постоянными коэффициентами, а значит его общее решение .

1.

Соответствующее однородное уравнение . Для этого уравнения характеристическое . Его корни действительны, различны. Следовательно, общее решение уравнения есть функция .

2.

Правая часть данного уравнения , значит, ; ; , т.е. m=2, а значит ; один раз встречается среди , а значит .

Тогда вид , где a,b,c – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению/вычислению методом неопределенных коэффициентов.

Так как есть решение (хоть и какое-либо частное) заданного уравнения, то при подстановке этой функции в исходное уравнение получается тождество. Значит,

.

После известных операций получается:

.

Тогда, так как многочлены в правой и левой частях равны, то равны и коэффициенты при одинаковых степенях переменной, т.е.

, откуда .

Итак, .

3.Наконец, общее решение данного уравнения

+ .

Теперь решаем задачу Коши, т.е. находим частное решение при .

Итак: + , тогда

,

.

Подставляя , получаем систему уравнений:

, отсюда .

Итак, частное решение дифференциального уравнения при начальных условиях :

+ .

Практикум по главе 8.

Задача 1. Решить уравнения:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) ;

н) ; о) , если у(1)=-1, у’(1)=1; п) ; р) ; с) ; т) ; у) ; ф) ; х) ;

ц) ; ш) ;

щ) ; э) ; ю) .

Задача 2.Определить тип уравнения, указать метод решения:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

е) ; ж) ; з) ;

и) ; к) ;

л) ; м) .

Задача 3.Определить вид для , если

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) .

*⁾ Это к тому, что необыкновенных дифференцальных уравнений нет. Уравнения в частных производных - не обыкновенные, это так.

*⁾ Методы решения дифференциальных уравнений (некоторых типов) будут рассматриваться позже. Пока, если хотите убедиться в справедливости, подставьте вместо у предложенную функцию и получите тождество.

*⁾ Будем считать пока, что при охлаждении тела температура окружающей среды не меняется (иначе задача становится более сложной).

*⁾ Какие-либо частные решения. Не путать с задачей Коши.

*⁾ Если в точке (х₀,у₀) условия теоремы нарушены, то такие точки называют особыми. Изучение поведения интегральных кривых в окрестности особой точки составляет важный раздел теории дифференциальных уравнений. Здесь не рассматривается.

*⁾ Здесь не приводится достаточно изящная и не менее достаточно громоздкая теория, которая позволяет такую простоту решения.

*^*) Почему именно показательная функция, тоже длинный разговор. Уточняйте у преподавателя, если хотите, а пока просто поверьте, что это очень мощная функция, играет большую роль в математике.

*⁾ Придется почитать соответствующий раздел этого пособия: комплексные числа.

*⁾ В действительности этот так называемый специальный вид на самом деле достаточно обширный, если не сказать универсальный.

195