Длина программы

С использованием рассмотренных программных параметров можно получить уравнение для оценки количественного соотношения между длиной программы N и словарем  Это уравнение на первый взгляд может показаться несколько неожиданным Однако тщательный анализ доказывает его правомерность кроме этого его правильность подтверждается экспериментально

Строка длины N образуемая символами входящими в словарь из  символов должна подчиняться ряду ограничений Требование согласно которому каждый символ словаря должен появиться по меньшей мере хотя бы один раз гарантирует выполнение условия

•  N

что определяет нижнюю границу для N выраженную через 

Найдем верхнюю границу для N Разобьем строку длины N на подстроки длины  Разделенная таким образом программа для ЭВМ оказывается состоящей из N/ операторов длины  каждый Теперь если мы потребуем чтобы строка не содержала двух одинаковых подстрок длины  то появится искомая верхняя граница

Требование отсутствия дубликатов подстрок длины  является весьма обоснованным в программах для ЭВМ в которых экономия выражений приводит к тому что общему подвыражению дается отдельное имя поэтому его надо вычислять только один раз Следовательно если общее подвыражение длины  необходимо программе более одного раза присваивание его отдельному операнду увеличит  (число типов операторов) на единицу

Число возможных комбинаций из  элементов взятых по  за раз хорошо известно из школьного курса математики и составляет

N  ^+1

Если учесть что операторы и операнды как правило, чередуются, то можно получить другое соотношение

N  ₁^1₂^2

Верхняя граница для этого неравенства должна включать не только упорядоченное множество из N элементов представляющих исследуемую программу но и его всевозможные подмножества Семейство всевозможных подмножеств из N элементов содержит 2^N элементов. Следовательно мы можем приравнять число возможных комбинаций из операторов и операндов (равное числу подстрок N/) числу подмножеств из N элементов и выразить длину реализации алгоритма через его словарь Из уравнения

2^N = ₁^1₂^2

получаем

N = log₂ (₁^1₂^2)

или

N = log₂ ₁^1 + log₂ ₂^2

Это дает нам уравнение оценки длины

₁ log₂₁ + ₂ log₂₂ (2.1)

В этом выражении символ N снабдили  для того чтобы отличать вычисленную (теоретическую) оценку длины от значения N полученного в результате непосредственного измерения (опытной длины) Эта оценка соответствует основным концепциям теории информации, по которым частота использования операторов и операндов в программе пропорциональна двоичному логарифму количества их типов. Выражение (2.1) представляет собой идеализированную аппроксимацию измеренной длины N=N₁+N₂ , справедливую для программ, не содержащих несовершенств (стилистических ошибок) [1]. Экспериментальные исследования ряда авторов на представительной группе программ показали, что для стилистически корректных программ отклонения в оценке их теоретической длины от опытной не превышают (10-15)% .