16.Оцінка коефіцієнта кореляції

Всі випадкові величини ми оцінювали до цього часу (випадкові відхилення, параметри b₀ , b₁) мали нормальний закон розподілу (або близький до нього), тому для їхньої оцінки можна було будувати симетричний довірчий інтервал, використовуючи таблиці нормального закону розподілу або розподілу Стьюдента:

Коефіцієнт кореляції r не є нормально розподілена випадкова величина. Областю його допустимих значень є інтервал [-1;1], а нормального закону розподілу(-∞;+∞).

Особливо сильно розподіл r відрізняється від нормального при тісному зв’язку між змінними, тобто коли r за абсолютною величиною близький до одиниці.

Вибіркове значення коефіцієнта кореляції рівне r=-0.1396. Оскільки значення коефіцієнта кореляції r наближене до 0, тобто зв’язок між змінними слабкий, то його розподіл наближається до нормального. Утакому разі стандартну похибку коефіцієнта кореляції визначають за такою формулою:

Гранична вибіркова похибка Z при заданому значенні довірчої ймовірності p=0,95 становить:

Δ_Z=1,677*0,1378= 0,231;

Припустимо, що ζ – невідоме значення випадкової величини Z, яке відповідає істинному значення коефіцієнта кореляції ρ.

Тоді довірчий інтервал невідомого значення ζ має вигляд

,

де z_p – значення випадкової величини z, яке згідно з відповідає вибірковому коефіцієнту кореляції r.

Введемо позначення:

z₁=z_r-Δ_z z₂=z_r+Δ_z

Тоді:

.

0,191-0,231≤ ζ ≤0,191+0,231

-0,04≤ ζ ≤0,422

Здійснивши обернене перетворення від змінної z до змінної r за формулою:

Отримаємо довірчий інтервал для істинного значення коефіцієнта кореляції ρ генеральної сукупності

,

де

-0,0399≤ ρ ≤0,3976

Отже, з довірчою ймовірністю 0,95 можна стверджувати, що істинне значення коефіцієнта кореляції ρ генеральної сукупності повинно лежати в межах від -0,0399 до 0,3976.

17. Перевірка статистичної значущості параметрів зв’язку між змінними

Перевірка статистичної значущості параметрів зв’язку між змінними.

Гіпотези – судження про генеральну сукупність. Такі судження стосуються виду невідомого розподілу або параметрів відомого розподілу. Сформульовану гіпотезу будемо називати нульовою (основною) і позначимо . Протилежну називають конкуруючою (альтернативною) і позначають . Обґрунтувати або спростувати гіпотези про генеральну сукупність на основі даних вибірки з цієї сукупності називається статистичним доведенням. Висновки отримані статистичним доведенням здійснюється за такою схемою:

1. на основі даних вибірки формуємо нульову гіпотезу , яку хочемо обґрунтувати або спростувати;

2. відповідно до нульової гіпотези вибираємо критерій (статистику);

Критерій – спеціальна підібрана випадкова величина, точний або наближений розподіл, якої відомий і яка служить для перевірки нульової гіпотези.

Статистика часто має розподіл Гауса (нормальний) або близький до нього, а саме розподіл Стьюдента, розподіл Фішера- Стьюдента, Хі -квадрат.

3. вибираємо рівень значущості - ймовірність відкинути згідно вибраного критерію істинну гіпотезу (має бути малою);

4. знаходимо, як правило, з таблиць критичні значення статистики k_кр= k_α, які відповідають рівню значущості α;

5. на основі даних вибірки обчислюємо емпіричне значення статистики;

6. робимо висновок про правомірність нульової гіпотези

Для коефіцієнта кореляції формулюється нульова гіпотеза, що реальний коефіцієнт кореляції в генеральній сукупності рівний нулю (ρ =0).

Необхідно дослідити сумісність вибіркового коефіцієнта кореляції з цією гіпотезою.

Перевірка нульової гіпотези: реальний коефіцієнт кореляції в генеральній сукупності рівний нулю (ρ =0).

Обсяг вибірки є малий, але зв’язок між змінними не є тісним (r=0,3943), , тому перевіримо цю гіпотезу використаємо статистику:

Критичне значення t_а^кр цієї статистики при заданому рівні значущості α=0,01 знаходимо за таблицями розподілу Стьюдента з n-2 ступенями вільності, t_а^кр =2,682.

Оскільки t_ем<t_таб (1.3314<2.682), то нульову гіпотезу приймаємо і з довірчою ймовірністю р=0,99 вважаємо, що коефіцієнт кореляції ρ генеральної сукупності дорівнює нулю, тобто кореляційна залежність виробництва продукції від чисельності робітників на підприємтсвах є статистично незначущою.

Для коефіцієнта регресії формулюється така нульова гіпотеза: коефіцієнт регресії генеральної сукупності β₁=0.

Щоб перевірити гіпотезу про статистичну значущість коефіцієнта регресії b₁ використаємо t-статистику Стьюдента, емпіричне значення статистики:

Критичні значення t_кр= t_α цієї статистики призаданому рівні значущості α знаходять за таблицями розподілу Стьюдента з (n-2) ступенями вільності.

Якщо t_ем > t_кр, то нульову гіпотезу відхиляють і з довірчою ймовірністю р=1-α вважають, що коефіцієнт кореляції ρ генеральної сукупності відмінний від 0.

Якщо t_ем ≤ t_кр, то з ймовірністю р=1-α немає підстав відхиляти нульову гіпотезу.

t_таб=2,682; t_ем>t_таб (9,6083>2.682), отже нульову гіпотезу відхиляємо і з довірчою ймовірністю р=0,99 вважаємо, що β₁ генеральної сукупності не дорівнює нулю, тобто кореляційна залежність виробництва продукції від чисельності робітників на підприємтсвах є статистично значущою.