Содержание

Введение…………………………………………………………………………....1

1 Геометрический поиск 2

1.1 Задача локализации точки 4

1.2 Задача локализации точки на планарном подразбиении 4

1.2.1 Представление ППЛГ с помощью реберного списка с двойными связями 6

1.2.2 Техника плоского заметания 7

2 Методы локализации точки на планарном подразбиении 9

2.1 Метод полос 9

2.2 Метод цепей 12

2.3 Метод детализации триангуляции 21

1. Триангуляция с ограничениями 21

2. Алгоритм локализации точки 24

2.4 Метод трапеций 29

3 Реализация алгоритмов 40

3.1 Требования к реализации алгоритмов 40

3.2 Сравнительное исследование методов локализации 41

3.3 Визуализация работы алгоритмов 45

1 Результаты экспериментальных исследований 47

4.1 Анализ затрат времени на предобработку 47

4.2 Анализ затрат времени на запрос 48

5 Заключение 50

6 Список литературы 51

Введение

В настоящее время вычислительная геометрия представляет собой, хотя и достаточно молодую дисциплину, но, тем не менее, быстро развивающуюся и нашедшую широкое применение в таких областях как: распознавание образов, компьютерная графика, робототехника и т.д. Сутью вычислительной геометрии является разработка и анализ алгоритмов решающих геометрические задачи. Именно природа геометрических задач и используемых в них объектов, таких как точки, линии, многоугольники, графы и т.п., позволяют ставить вопросы со своими неповторимыми нюансами.

Одним из направлений вычислительной геометрии является геометрический поиск, в котором принято выделять две основные модели: задачи локализации и задачи регионального поиска. Настоящая работа посвящена рассмотрению задач первого типа.

Один из типичных примеров приложения задачи локализации точки это задача определения местоположения. В качестве исходных данных может выступать, например, дорожная карта, а в качестве запроса пара координат от глобальной системы навигации и определения местоположения (GPS). Ответом может быть номер дороги на которой находится автомобиль [7]. Также отметим, что локализация точки является строительным блоком для некоторого числа задач в самой вычислительной геометрии [1].

В настоящей работе решаются следующие задачи:

• Ознакомление со следующими алгоритмами локализации точки:

1. Метод полос;

2. Метод цепей;

3. Метод детализации триангуляции

4. Метод трапеций.

• Разработка и реализация обучающей программы, которая позволяла бы:

• Детально отображать работу каждого из вышеупомянутых алгоритмов;

• Выполнять сравнительное исследование затрат времени на предобработку и обработку запроса.

1. Геометрический поиск

Поиск в простейшей абстрактной форме, можно представить следующим образом: есть некоторый набор данных (именуемый файлом) и некоторый новый элемент данных (именуемый образцом). Поиск – это установление связи между образцом и файлом. Среди всех форм поиска можно выделить геометрическую форму. Хотя бы, потому что в геометрических приложениях файлы представляют собой сложные структуры, такие как многоугольники, графы и т.п., а в качестве образцов использоваться точки, регионы и т.п.

В дальнейшем, поисковое сообщение, в соответствии с которым ведется просмотр файла, будем называть запросом. От типа файла, т.е. от структур в нем содержащихся, и от набора допустимых запросов будет сильно зависеть организация первого и алгоритмы обработки последних. Важность этого аспекта задачи поиска поясним на простом примере. Пусть имеется массив чисел и требуется узнать содержит ли этот массив некоторое заданное число. Когда такой вопрос возникает единожды, то можно получить ответ на него, просмотрев весь массив, т.е. затратив время пропорциональное размеру массива. В этом случае было бы неразумно затрачивать время на предобработку, в надежде ускорить прохождение последующих запросов. Запросы такого типа будем называть уникальными. Однако могут быть запросы, обработка которых повторяется многократно на одном и том же массиве. Такие запросы будем называть массовыми. В последнем случае стоит отсортировать массив, затратив на это некоторое время. Это позволит отвечать на запрос за время пропорциональное логарифму размера массива.

В связи с этим анализ геометрических алгоритмов поиска следует сосредоточить на трех следующих направлениях:

1. Время предобработки. Сколько времени необходимо для организации данных перед поиском.

2. Время запроса. Сколько времени необходимо для ответа на один запрос.

3. Память. Сколько памяти необходимо для структуры данных.

Для оценки затраченных ресурсов при выполнении алгоритма, используем аппарат обозначение позаимствованный у Кнута[6]:

служит для обозначения множества всех функцийтаких, что существуют положительные константыи, для которыхпри всех.

служит для обозначения множества всех функцийтаких, что существуют положительные константыи, для которыхпри всех.

служит для обозначения множества всех функцийтаких, что существуют положительные константы,и, для которыхпри всех.

служит для обозначения множества всех функцийтаких, что для всех положительных констант, существует некое, при которомдля всех.

используется для описания верхних оценок, напротив используется для описания нижних оценок. Наконец- это способ описания для «оптимальных» алгоритмов.

1. Задача локализации точки

Одной из главных моделей геометрического поиска является задача локализации точки, когда файл представляет собой разбиение геометрического пространства на области, а запрос является точкой. Локализация состоит в определении области, содержащей запрошенную точку.

Трудоемкость этой задачи существенно зависит от природы пространства и от способа его разбиения.

Простые случаи задачи локализации точки (задачи о принадлежности точки выпуклому или звездному многоугольнику) достаточно полно рассмотрены в [1]. Задача же о принадлежности точки простому многоугольнику, по всей видимости, не легче более общей задачи о локализации точки в планарном подразбиении. Поэтому мы сосредоточимся на последней.