Свойства степенных рядов.
Определение. Пусть функция f(x) является суммой степенного ряда
,
(13.3.8)
интервал сходимости которого (-R; R). В этом случае говорят, что на (-R; R) f(x) разлагается в степенной ряд или ряд по степеням х.
Теорема 1. Если функция f(x) на интервале (-R; R) разлагается в степенной ряд (13.3.8), то она дифференцируема на этом интервале и ее производная f¢(x) может быть найдена почленным дифференцированием членов этого ряда, т. е.
f¢(x)=а1+2а2х+3а3х2+¼+папхп-1+¼
Аналогично могут быть вычислены производные любого порядка функции f(x). При этом соответствующие ряды имеют тот же радиус сходимости, что и ряд (13.3.8).
Теорема 2. Если функция на f(x) на интервале (-R; R) разлагается в степенной ряд (13.3.8), то она интегрируема на (-R; R) и интеграл от нее может быть вычислен почленным интегрированием ряда (13.3.8), т. е. если а, bÎ(-R; R), то
.
При этом полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и ряд (13.3.8).
Замечание. Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида:
.
(13.3.9)
Если f(x)-сумма ряда, то говорят, что f(x) разлагается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням х-х0. Все сказанное выше остается в силе для ряда (13.3.9), с той разницей, что центр интервала сходимости будет лежать не в точке х=0, а в точке х=х0.
Областью сходимости степенного ряда(13.3.9) является интервал (x0-R; x0+R), к которому могут присоединиться один или оба его конца.
Ряд Тейлора
Теорема. (О разложении функции в степенной ряд). Если функция f(x) может быть разложена в сходящийся к ней степенной ряд (13.3.9)
,
………(13.3.10)
то это разложение единственно и коэффициенты степенного ряда в этом случае определяются формулами:
a0
= f(x0),
a1
= f
¢(x0),
,
…,
Доказательство. Пусть
При х = х0 следует что f (x0) = a0.
Последовательно дифференцируя равенство (13.3.10) получим
f ¢(x) = a1 + 2a2 (x – x0) +…
f ¢¢(x) = 2a2 + 2∙3∙a3 (x – x0) +…
f ¢¢¢(x) = 2∙3∙a3 +…
…………..
f (n)(x) = n ! an + …
……………
Положив в полученных равенствах х = х0 найдём:
f ¢(x0) = a1.
f
¢¢(x0)
= 2a2.
Þ
;
f
¢¢¢(x0)
= 2∙3∙a3
Þ
…………………………….
f (n)(x0) = n ! an Þ
………………………………
Таким образом, мы получили, что все коэффициенты а0, а1, а2, ¼, ап, ¼, определяются единственным образом формулами:
a0 = f (x0), a1 = f ¢(x0), …, , …
что и доказывает теорему.
Подставляя найденные выражения в ряд (13.3.10) получим ряд
f
(x)=f
(x0)
+f
¢(x0)
(х
– х0)+
+…+
+…
(13.3.11)
Определение. Рядом Тейлора функции f (x) в окрестности точки х0 называется степенной ряд
f (x0) +f ¢(x0) (х – х0)+ +…+ +… (13.3.12)
относительно разности (х – х0), а его коэффициенты ряда называются коэффициентами Тейлора функции f (x) в точке х0.
Таким образом, мы установили, что если функцию f (x) можно разложить в степенной ряд по степеням (х – х0), то этот ряд обязательно является рядом Тейлора этой функции.
Обратим внимание на тот факт, что все рассуждения были сделаны в предположении, что f (x) может быть разложена в степенной ряд. Поставим теперь вопрос о том, когда заданную функцию можно разложить в степенной ряд. Как указано выше, необходимым условием для возможности такого разложения является дифференцируемость функции f (x) бесконечное число раз.. В дальнейшем станет ясно, что это условие не является достаточным.
Определение. Если в ряде (13.3.12) х0 = 0, то полученный ряд называется рядом Маклорена, т.е.
f
(x)=
f
(0) + f
¢(0)
х
+
+ …+
+ … (13.3.13)
Определение.
Многочлен
называется многочленом
Тейлора п - й степени
функции f
(x)
по степеням (х
– х0).
Определение. Величина
Rn(x) = f (x) – Sn(x) (13.3.14)
называется п - м остаточным членом ряда Тейлора функции f (x) в точке х0.
Теорема.
(Условие
разложимости функции в ряд Тейлора).
Для того, чтобы ряд Тейлора сходился на
интервале (x0-R;
x0+R)
и имел своей суммой функцию f
(x)
необходимо и достаточно, чтобы на этом
интервале остаточный член Rn(x)
ряда Тейлора стремился к нулю при п
→ ¥,
т. е.
для
х
(x0-R;
x0+R).
Из теоремы вытекает, что вопрос о разложимости функции в ряд Тейлора сводится к исследованию поведения остаточного члена Rn(x) при п → ¥. То есть, если для какой-либо функции формально написан ряд Тейлора, то для того, чтобыдоказать, что ряд представляет функцию необходимо или доказать, что остаточный член Rn(x)→0 при п → ¥, или каким-либо иным способом удостовериться, что ряд сходится к функции.
Для каждой каждой элементарной функции существует такое x0 и такое R, что в интервале (x0-R; x0+R) она разлагается в ряд Тейлора или ( при x0 = 0) в ряд Маклорена.