Тема 3. Решение нелинейных уравнений а Excel
3.1. Нахождение корней уравнения
Пример 12. Пример нахождения всех корней уравнения
Протабулировал полином на отрезке[1;-1] шагом 0,2 в столбце А;
В ячейку В2 ввел следующую формулу =A3^3-0,01*LOG(78;78)*A3^2-0,7044*A3+0,139104;
По получившимся результатам построил график;
В ячейки С2:С4 ввел приближенные значения в ячейку D2 ввел формулу =C2^3-0,01*LOG(78;78)*C2^2-0,7044*C2+0,139104 протащил на ячейки D3, D4;
Выполнил подбор параметра (Данные – Работа с данными – Анализ «что-если» - Подбор параметра):
x |
y |
Приближение |
Значение функции |
|
-1 |
=A2^3-0,01*LOG(78;78)*A2^2-0,7044*A2+0,139104 |
-0,919994327978423 |
=C2^3-0,01*LOG(78;78)*C2^2-0,7044*C2+0,139104 |
|
-0,8 |
=A3^3-0,01*LOG(78;78)*A3^2-0,7044*A3+0,139104 |
0,210000684055703 |
=C3^3-0,01*LOG(78;78)*C3^2-0,7044*C3+0,139104 |
|
-0,6 |
=A4^3-0,01*LOG(78;78)*A4^2-0,7044*A4+0,139104 |
0,719975360423083 |
=C4^3-0,01*LOG(78;78)*C4^2-0,7044*C4+0,139104 |
|
-0,4 |
=A5^3-0,01*LOG(78;78)*A5^2-0,7044*A5+0,139104 |
|
|
|
-0,2 |
=A6^3-0,01*LOG(78;78)*A6^2-0,7044*A6+0,139104 |
|
|
|
0 |
=A7^3-0,01*LOG(78;78)*A7^2-0,7044*A7+0,139104 |
|
|
|
0,2 |
=A8^3-0,01*LOG(78;78)*A8^2-0,7044*A8+0,139104 |
|
|
|
0,4 |
=A9^3-0,01*LOG(78;78)*A9^2-0,7044*A9+0,139104 |
|
|
|
0,6 |
=A10^3-0,01*LOG(78;78)*A10^2-0,7044*A10+0,139104 |
|
|
|
0,8 |
=A11^3-0,01*LOG(78;78)*A11^2-0,7044*A11+0,139104 |
|
|
|
1 |
=A12^3-0,01*LOG(78;78)*A12^2-0,7044*A12+0,139104 |
|
|
|
x |
y |
Приближение |
Значение функции |
|
-1 |
-0,166496 |
-0,919994328 |
1,05113E-05 |
|
-0,8 |
0,184224 |
0,210000684 |
-3,9422E-07 |
|
-0,6 |
0,342144 |
0,71997536 |
-2,0607E-05 |
|
-0,4 |
0,355264 |
|
|
|
-0,2 |
0,271584 |
|
|
|
0 |
0,139104 |
|
|
|
0,2 |
0,005824 |
|
|
|
0,4 |
-0,080256 |
|
|
|
0,6 |
-0,071136 |
|
|
|
0,8 |
0,081184 |
|
|
|
1 |
0,424704 |
|
|
|
Задание 4.
Решение:
1) Протабулировал полином на отрезке[1;-1] шагом 0,2 в столбце А;
2) В ячейку В2 ввел следующую формулу =A2^3-2,92*A2^2+1,4355*A2+0,791136+10/1000;
3) По получившимся результатам построил график;
4) Получившийся график имеет одно пересечение с осью Ох = -0,4 и в ячейку С2 ввел это значение;
5) В ячейку D2ввел формулу =C2^3-2,92*C2^2+1,4355*C2+0,791136+10/1000;
6) Выполнил подбор параметра (Данные – Работа с данными – Анализ «что-если» - Подбор параметра):
x |
y |
Приближение |
Значение функции |
-1 |
=A2^3-2,92*A2^2+1,4355*A2+0,791136+10/1000 |
-0,4 |
=C2^3-2,92*C2^2+1,4355*C2+0,791136+10/1000 |
-0,8 |
=A3^3-2,92*A3^2+1,4355*A3+0,791136+10/1000 |
|
|
-0,6 |
=A4^3-2,92*A4^2+1,4355*A4+0,791136+10/1000 |
|
|
-0,4 |
=A5^3-2,92*A5^2+1,4355*A5+0,791136+10/1000 |
|
|
-0,2 |
=A6^3-2,92*A6^2+1,4355*A6+0,791136+10/1000 |
|
|
0 |
=A7^3-2,92*A7^2+1,4355*A7+0,791136+10/1000 |
|
|
0,2 |
=A8^3-2,92*A8^2+1,4355*A8+0,791136+10/1000 |
|
|
0,4 |
=A9^3-2,92*A9^2+1,4355*A9+0,791136+10/1000 |
|
|
0,6 |
=A10^3-2,92*A10^2+1,4355*A10+0,791136+10/1000 |
|
|
0,8 |
=A11^3-2,92*A11^2+1,4355*A11+0,791136+10/1000 |
|
|
1 |
=A12^3-2,92*A12^2+1,4355*A12+0,791136+10/1000 |
|
|
x |
y |
Приближение |
Значение функции |
-1 |
-4,55436 |
-0,4 |
-0,304264 |
-0,8 |
-2,72806 |
|
|
-0,6 |
-1,32736 |
|
|
-0,4 |
-0,30426 |
|
|
-0,2 |
0,389236 |
|
|
0 |
0,801136 |
|
|
0,2 |
0,979436 |
|
|
0,4 |
0,972136 |
|
|
0,6 |
0,827236 |
|
|
0,8 |
0,592736 |
|
|
1 |
0,316636 |
|
|
3.2. Нахождение корней уравнения методом деления отрезка пополам
Пример 13.
Нахождение корня уравнения
с точностью до 0,001 методом деления
отрезка пополам.
В ячейку В1 Ввел погрешность нахождения корня 0,001;
За первоначальный отрезок локализации принял отрезок [0;2];
В ячейки C3, D3, E3, A4, B4, F4 ввел необходимые формулы;
Получил решение:
Точность нахождения корня |
0,001 |
|
|
|
|
|
|
a |
b |
c |
Проверка знака |
Значение функции в средней точке |
|
|
|
0 |
2 |
=(A3+B3)/2 |
=(A3^2-2)*(C3^2-2) |
=C3^2-2 |
|
|
|
=ЕСЛИ(D3<=0;A3;C3) |
=ЕСЛИ(D3<=0;C3;B3) |
=(A4+B4)/2 |
=(A4^2-2)*(C4^2-2) |
=C4^2-2 |
=ЕСЛИ(B3-A3<$B$1;"Корень найден и равен" &СТ(C3;"0?0000");"") |
||
=ЕСЛИ(D4<=0;A4;C4) |
=ЕСЛИ(D4<=0;C4;B4) |
=(A5+B5)/2 |
=(A5^2-2)*(C5^2-2) |
=C5^2-2 |
=ЕСЛИ(B4-A4<$B$1;"Корень найден и равен" &СТ(C4;"0?0000");"") |
||
=ЕСЛИ(D5<=0;A5;C5) |
=ЕСЛИ(D5<=0;C5;B5) |
=(A6+B6)/2 |
=(A6^2-2)*(C6^2-2) |
=C6^2-2 |
=ЕСЛИ(B5-A5<$B$1;"Корень найден и равен" &СТ(C5;"0?0000");"") |
||
=ЕСЛИ(D6<=0;A6;C6) |
=ЕСЛИ(D6<=0;C6;B6) |
=(A7+B7)/2 |
=(A7^2-2)*(C7^2-2) |
=C7^2-2 |
=ЕСЛИ(B6-A6<$B$1;"Корень найден и равен" &СТ(C6;"0?0000");"") |
||
=ЕСЛИ(D7<=0;A7;C7) |
=ЕСЛИ(D7<=0;C7;B7) |
=(A8+B8)/2 |
=(A8^2-2)*(C8^2-2) |
=C8^2-2 |
=ЕСЛИ(B7-A7<$B$1;"Корень найден и равен" &СТ(C7;"0?0000");"") |
||
=ЕСЛИ(D8<=0;A8;C8) |
=ЕСЛИ(D8<=0;C8;B8) |
=(A9+B9)/2 |
=(A9^2-2)*(C9^2-2) |
=C9^2-2 |
=ЕСЛИ(B8-A8<$B$1;"Корень найден и равен" &СТ(C8;"0?0000");"") |
||
=ЕСЛИ(D9<=0;A9;C9) |
=ЕСЛИ(D9<=0;C9;B9) |
=(A10+B10)/2 |
=(A10^2-2)*(C10^2-2) |
=C10^2-2 |
=ЕСЛИ(B9-A9<$B$1;"Корень найден и равен" &СТ(C9;"0?0000");"") |
||
=ЕСЛИ(D10<=0;A10;C10) |
=ЕСЛИ(D10<=0;C10;B10) |
=(A11+B11)/2 |
=(A11^2-2)*(C11^2-2) |
=C11^2-2 |
=ЕСЛИ(B10-A10<$B$1;"Корень найден и равен" &СТ(C10;"0?0000");"") |
||
=ЕСЛИ(D11<=0;A11;C11) |
=ЕСЛИ(D11<=0;C11;B11) |
=(A12+B12)/2 |
=(A12^2-2)*(C12^2-2) |
=C12^2-2 |
=ЕСЛИ(B11-A11<$B$1;"Корень найден и равен" &СТ(C11;"0?0000");"") |
||
=ЕСЛИ(D12<=0;A12;C12) |
=ЕСЛИ(D12<=0;C12;B12) |
=(A13+B13)/2 |
=(A13^2-2)*(C13^2-2) |
=C13^2-2 |
=ЕСЛИ(B12-A12<$B$1;"Корень найден и равен" &СТ(C12;"0?0000");"") |
||
=ЕСЛИ(D13<=0;A13;C13) |
=ЕСЛИ(D13<=0;C13;B13) |
=(A14+B14)/2 |
=(A14^2-2)*(C14^2-2) |
=C14^2-2 |
=ЕСЛИ(B13-A13<$B$1;"Корень найден и равен" &СТ(C13;"0?0000");"") |
||
=ЕСЛИ(D14<=0;A14;C14) |
=ЕСЛИ(D14<=0;C14;B14) |
=(A15+B15)/2 |
=(A15^2-2)*(C15^2-2) |
=C15^2-2 |
=ЕСЛИ(B14-A14<$B$1;"Корень найден и равен" &ТЕКСТ(C14; "0,0000");" ") |
||
Точность нахождения корня |
0,001 |
|
|
|
|
|
|
a |
b |
c |
Проверка знака |
Значение функции в средней точке |
|
|
|
0 |
2 |
1 |
2 |
-1 |
|
|
|
1 |
2 |
1,5 |
-0,25 |
0,25 |
|
|
|
1 |
1,5 |
1,25 |
0,4375 |
-0,4375 |
|
|
|
1,25 |
1,5 |
1,375 |
0,047851563 |
-0,109375 |
|
|
|
1,375 |
1,5 |
1,4375 |
-0,007263184 |
0,06640625 |
|
|
|
1,375 |
1,4375 |
1,40625 |
0,002456665 |
-0,022460938 |
|
|
|
1,40625 |
1,4375 |
1,421875 |
-0,000488043 |
0,021728516 |
|
|
|
1,40625 |
1,421875 |
1,414063 |
9,59635E-06 |
-0,000427246 |
|
|
|
1,4140625 |
1,421875 |
1,417969 |
-4,54392E-06 |
0,010635376 |
|
|
|
1,4140625 |
1,4179688 |
1,416016 |
-2,17906E-06 |
0,00510025 |
|
|
|
1,4140625 |
1,4160156 |
1,415039 |
-9,97854E-07 |
0,002335548 |
|
|
|
1,4140625 |
1,4150391 |
1,414551 |
-4,07555E-07 |
0,000953913 |
|
|
|
1,4140625 |
1,4145508 |
1,414307 |
-1,12483E-07 |
0,000263274 |
Корень найден и равен1,4146 |
||
Задание
5. Решить уравнение
:
В ячейку В1 Ввел погрешность нахождения корня 0,001;
За первоначальный отрезок локализации принял отрезок [0;2];
В ячейки C3, D3, E3, A4, B4, F4 ввел необходимые формулы;
Получил решение:
Точность нахождения корня |
0,001 |
|
|
|
|
|
|
a |
b |
c |
Проверка знака |
Значение функции в средней точке |
|
|
|
0 |
2 |
=(A3+B3)/2 |
=(A3^4-10)*(C3^4-10) |
=C3^4-10 |
|
|
|
=ЕСЛИ(D3<=0;A3;C3) |
=ЕСЛИ(D3<=0;C3;B3) |
=(A4+B4)/2 |
=(A4^4-10)*(C4^4-10) |
=C4^4-10 |
=ЕСЛИ(B3-A3<$B$1;"Корень найден и равен" &СТ(C3;"0?0000");"") |
||
=ЕСЛИ(D4<=0;A4;C4) |
=ЕСЛИ(D4<=0;C4;B4) |
=(A5+B5)/2 |
=(A5^4-10)*(C5^4-10) |
=C5^4-10 |
=ЕСЛИ(B4-A4<$B$1;"Корень найден и равен" &СТ(C4;"0?0000");"") |
||
=ЕСЛИ(D5<=0;A5;C5) |
=ЕСЛИ(D5<=0;C5;B5) |
=(A6+B6)/2 |
=(A6^4-10)*(C6^4-10) |
=C6^4-10 |
=ЕСЛИ(B5-A5<$B$1;"Корень найден и равен" &СТ(C5;"0?0000");"") |
||
=ЕСЛИ(D6<=0;A6;C6) |
=ЕСЛИ(D6<=0;C6;B6) |
=(A7+B7)/2 |
=(A7^4-10)*(C7^4-10) |
=C7^4-10 |
=ЕСЛИ(B6-A6<$B$1;"Корень найден и равен" &СТ(C6;"0?0000");"") |
||
=ЕСЛИ(D7<=0;A7;C7) |
=ЕСЛИ(D7<=0;C7;B7) |
=(A8+B8)/2 |
=(A8^4-10)*(C8^4-10) |
=C8^4-10 |
=ЕСЛИ(B7-A7<$B$1;"Корень найден и равен" &СТ(C7;"0?0000");"") |
||
=ЕСЛИ(D8<=0;A8;C8) |
=ЕСЛИ(D8<=0;C8;B8) |
=(A9+B9)/2 |
=(A9^4-10)*(C9^4-10) |
=C9^4-10 |
=ЕСЛИ(B8-A8<$B$1;"Корень найден и равен" &СТ(C8;"0?0000");"") |
||
=ЕСЛИ(D9<=0;A9;C9) |
=ЕСЛИ(D9<=0;C9;B9) |
=(A10+B10)/2 |
=(A10^4-10)*(C10^4-10) |
=C10^4-10 |
=ЕСЛИ(B9-A9<$B$1;"Корень найден и равен" &СТ(C9;"0?0000");"") |
||
=ЕСЛИ(D10<=0;A10;C10) |
=ЕСЛИ(D10<=0;C10;B10) |
=(A11+B11)/2 |
=(A11^4-10)*(C11^4-10) |
=C11^4-10 |
=ЕСЛИ(B10-A10<$B$1;"Корень найден и равен" &СТ(C10;"0?0000");"") |
||
=ЕСЛИ(D11<=0;A11;C11) |
=ЕСЛИ(D11<=0;C11;B11) |
=(A12+B12)/2 |
=(A12^4-10)*(C12^4-10) |
=C12^4-10 |
=ЕСЛИ(B11-A11<$B$1;"Корень найден и равен" &СТ(C11;"0?0000");"") |
||
=ЕСЛИ(D12<=0;A12;C12) |
=ЕСЛИ(D12<=0;C12;B12) |
=(A13+B13)/2 |
=(A13^4-10)*(C13^4-10) |
=C13^4-10 |
=ЕСЛИ(B12-A12<$B$1;"Корень найден и равен" &СТ(C12;"0?0000");"") |
||
=ЕСЛИ(D13<=0;A13;C13) |
=ЕСЛИ(D13<=0;C13;B13) |
=(A14+B14)/2 |
=(A14^4-10)*(C14^4-10) |
=C14^4-10 |
=ЕСЛИ(B13-A13<$B$1;"Корень найден и равен" &СТ(C13;"0?0000");"") |
||
=ЕСЛИ(D14<=0;A14;C14) |
=ЕСЛИ(D14<=0;C14;B14) |
=(A15+B15)/2 |
=(A15^4-10)*(C15^4-10) |
=C15^4-10 |
=ЕСЛИ(B14-A14<$B$1;"Корень найден и равен" &ТЕКСТ(C14; "0,0000");" ") |
||
Точность нахождения корня |
0,001 |
|
|
|
|
|
|
a |
b |
c |
Проверка знака |
Значение функции в средней точке |
|||
0 |
2 |
1 |
90 |
-9 |
|
|
|
1 |
2 |
1,5 |
44,4375 |
-4,9375 |
|
|
|
1,5 |
2 |
1,75 |
3,06665 |
-0,62109 |
|
|
|
1,75 |
2 |
1,875 |
-1,46554 |
2,359619 |
|
|
|
1,75 |
1,875 |
1,8125 |
-0,49206 |
0,792252 |
|
|
|
1,75 |
1,8125 |
1,78125 |
-0,04161 |
0,066987 |
|
|
|
1,75 |
1,78125 |
1,765625 |
0,174912 |
-0,28162 |
|
|
|
1,765625 |
1,78125 |
1,773438 |
0,030547 |
-0,10847 |
|
|
|
1,773438 |
1,78125 |
1,777344 |
0,002281 |
-0,02103 |
|
|
|
1,777344 |
1,78125 |
1,779297 |
-0,00048 |
0,022906 |
|
|
|
1,777344 |
1,779297 |
1,77832 |
-1,9E-05 |
0,00092 |
|
|
|
1,777344 |
1,77832 |
1,777832 |
0,000212 |
-0,01006 |
|
|
|
1,777832 |
1,77832 |
1,778076 |
4,6E-05 |
-0,00457 |
Корень найден и равен1,7778 |
||