2. Описание движения среды в эйлеровых переменных

По заданным компонентам вектора перемещения u = u(t, x₁, x₂, x₃) найти поля скоростей v = v(t, x₁, x₂, x₃) и ускорений w = w(t, x₁, x₂, x₃) в эйлеровых координатах.

Вариант	u1	u2	u3
	2tx1x2	-tx2	t(2-x3)x3
	-tx1x2	2tx2	t(2+x3)x3
	tx1x2	3tx2	t(1+2x3)x3
	-2tx1x2	2tx2	t(4+x3)x3
	tx1x2	-2tx2	2t(1+x3)x3
	3tx1x2	2tx2	t(1+x3)x3
	t(2+x1)x1	3tx3x2	2tx3
	t(1-x1)x1	tx3x2	tx3
	t(1+2x1)x1	-tx3x2	2tx3
	t(2-x1)x1	2tx3x2	-tx3
	t(1+x1)x1	tx3x2	-2tx3
	t(1+3x1)x1	-tx3x2	tx3
	t(4-x1)x1	-2tx3x2	tx3
	3tx1x3	t(3-x2)x2	tx3
	2tx1x3	t(2+x2)x2	-tx3
	-tx1x3	t(1+x2)x2	2tx3
	4tx1x3	t(2-x2)x2	-tx3
	-2tx1x3	2t(1+x2)x2	tx3
	2tx1x3	t(1+2x2)x2	-tx3
	-tx1x3	t(1-x2)x2	2tx3

Указания: из соотношения v = u^ следует (см.2.11 в [4]):

(2.1)

.

Решая (2.1) как систему линейных уравнений относительно v_x, v_y, v_z, можно найти компоненты скорости.

Далее поле ускорений определяется по формулам (см.2.10 в [4]):

(2.2)

.

Решения подобных задач можно найти в разделе 1 [5].

3. Свойства тензора конечной деформации

Задано преобразование, определяющее плоскую конечную деформацию сплошной среды:

Вариант	x1	x2	a1	a2
	a1a2	a22-2a2	-1	1.5
	-3a1	2a12-a2	2	1
	a12	a1a2	-1	-1
	-3a1	2a1+a22	-1	1
	a1	3a1 /a2	1.5	2
	-2a2 /a1	a2	1.5	1
	a12+a2	-3a22	2	1
	2a12a2	a1-2a22	-1	1
	2a1	a12+2a2	1	-0,5
	5a12	a1+a22	1	1
	a12+a22	-2a2	-1	1
	-a12a2	a22	-1	1
	-a2 /a1	a2	2	-1
	a12-a22	3a2	-1	1
	a12a2	2a22	-1	1.5
	-a2 /a1	2a2	1	-1
	4a1	a12+a2	1	-1
	a1	2a1+a22	1	-1
	a1+a22	3a2	2	1
	-2a12	a1a22	1	1

Здесь a_i – начальные координаты; x_i – текущие координаты (в случае плоской деформации a₃ = x₃). В точке, для которой заданы лагранжевы координаты a₁ , a₂, найти:

а) меру деформации и тензор деформации Коши-Грина;

б) главные значения и главные направления тензора деформации;

в) относительные удлинения малых отрезков, первоначально ориентированных вдоль координатных осей и относительное удлинение отрезка, определяемого направлением

г) углы после деформации между отрезками, до деформации расположенными вдоль координатных осей.

Указания: компоненты меры деформации и тензора деформации Коши-Грина при использовании лагранжева подхода к описанию движения определяются по формулам (2.23), (2.30), (2.31) [4]. Главные значения и главные направления тензора деформации определяются по формулам п. 1.6, 1.7 [4]. Относительные удлинения малых отрезков и углы после деформации между отрезками, до деформации расположенными вдоль координатных осей, определяются по формулам (2.24), (2.25), (2.26), (2.29) [4].

Решения подобных задач можно найти в разделе 6 [5].