4 Аналогия между основными формулами, описывающими поступательное и вращательное движения

Если сравнить формулы поступательного и вращатель­ного движений (частично это проводилось и ранее), то м-но заме­тить, что 2-ые получаются из 1-ых и обратно заменой величин:

т <-> I; v <-> со, р L, F <-> М.

Аналогом массы, т.е. мерой инертности для вращательного дви­жения является момент инерции, справа в таблице указаны мо­менты инерции, рассчитанные для тел, форма к-рых характеризу­ется определённой симметрией.

по I

1 if А* '* L Тмрямй стержень	Ic-jMR1 t i Xfc . Шар	= —MRa 4 Тонамашкм сферическая оболочка
U = MRJ \ s Iohko. le^sunfi	Ь-yMR* ш 1ж;',, / ' k Диск	( / Диск

■ неподвижной оси

Ниже в таблице приведены формулы вращательного движения, как выведенные ранее, так и записанные по аналогии.

Основное уравнение динамики

та

= F, — (mv) = F; — р = Р. dt^K ' dt ^И

Основное уравнение динамики

Is = М, — (13) = М; — L = М. dt dt

Кинетическая энергия W_k = 1й)²/2

Работа постоянного момента силы : А — М ■ ср

4. ■ Элементарная работа dA = ( F ■ dr ) Работа переменной силы

Элементар. работа момента силы М : А - (М- dtp) Работа переменного момента силы

Аг - 1p(r)dr

Uco.

1_гО).

mv_n

mv

2^Ш2

= AW_k

А₁₂ = t МШФ =

Мощность : Р = (М • со)

:.6.

Мощность (Р = AW/At) : Р = (F ■ v)

9 Условия равновесия твердого тела. Виды равновесия

Тело будет находиться в равновесии, если отсутствуют причины, приводящие к появлению поступательного или вра­щательного движений. Для этого необходимо одновременное выполнение двух условий (основных условий статики):

1. Х/^г' ⁼ 0 или F_x = 0 ; F_y = 0 ; F_z =0 - сумма всех сил, действующих на тело равна нулю;

2. £ m_oi - о - сумма моментов сил, действующих на тело относительно произвольной точки О равна нулю. При

i

решении конкретных задач это условие заменяют другим: ^ M_xi = 0; ^Г M_yi = 0;

i i = 0 — сумма моментов относительно координатных осей равна нулю.

При нахождении условий равновесия очень важно знать, какое это равновесие.

1. Если тело немного сместить от положения равновесия, и оно самопроизвольно возвращается в исходное положение, то равновесие называется устойчивым.

Пример: математический маятник в нижней точке, шарик, лежащий внутри сферы, и т. д.

2. Если при указанных условиях тело не возвращается в исходное положение, равновесие неустойчиво. Пример: шарик, лежащий на верхней точке полусферы, карандаш, стоящий на столе, и т.п.

3. Если тело остается в новом положении, то равновесие безразличное.

>- Пример: шарик на горизонтальной плоскости. М-но показать, что 1-му условию соответствует минимальная потенциальная энергия W в положении равновесия, 2-му - максимальная, 3-ему - постоянная энергия (так, как на рисунке)

Основные характеристики вращательного движения физических тел - ММФ (ТХВ - 5 12)

Механические колебания

Лекция 7.

13

Гармонические колебания. Сложение колебаний. Пружинный маятник. Гармонический осциллятор. Энергия колебательного движения.

ч# Периодические процессы. Гармонические колебания.

В природе и технике существует много явлений, повторяющихся через определённые промежутки времени. Это пе­риодические процессы. Ранее рассматривалось равномерное движение МТ по окружности — это пример периодич. про-

х цесса. Условие периодичности любого процесса м-но записать в виде х(/)= x(t + Г) , (*)

^rV

о W

<Р<п

здесь x(t) - нек-рая характеристика системы (скорость, энергия, заряд и т.д.), а Г - время воз­вращения в исходное состояние — период процесса (верхняя кривая описывает произвольный регулярный процесс с периодом Т = 2с).

•'Л

"57 ч \ V t

Важнейшим примером периодического процесса является колебательное движение МТ, т.е. движение МТ вперед-назад около некоторой точки О— положения равновесия МТ. Под яг в ур-нии (*) понимают прежде всего смещение МТ от положения равновесия. На верхней кривой хо - максимал. отклонение (амплитуда). Колебания, при которых смещение материальной точки (МТ) меняется со временем только по закону косинуса (или синуса), назы­вают гармоническими. Такие колебания описываются уравнением: y{t) = A COS [fO^t + ср^) . (**)

• Здесь: 1/(f) — смещение МТ от положения равновесия в момент времени t;

• (0g£ + фо — угол, зависящий от времени и определяющий смещение МТв момент времени t, именуемый фазой колебания, Фо - угол в момент времени t = £q = 0 (начальная фаза); А- амплитуда колебания (А > 0); J/_max = ± А - максимальное

смещение МТ от положения равновесия (происходит при условии COs(ft>Q/ + (р^) = +l).

• (Oq -2 ж/Т - циклическая или круговая частота, равная числу колебаний, к-рые совершает МТ за 2л секунд. Величина СУ₀ - собственная частота колебаний; зависит от свойств колеблющейся системы. Кроме того, используется и линейная частота (или просто частота) колебаний y_Q = Г - число колебаний за 1с. На нижней зависимости - гармоническое колебание с частотой (0 — 71 и

<Pq-0'. y{t) = A COS 7lt.

■с За единицу частоты принимают частоту такого колебания, у к-рого Т- 1 с. Эта единица - Герц (Гц). Частоту порядка 10³ Гц изме­ряют в килоГерцах (кГц), в 10⁶ Гц - мегаГерцах (МГц), в 10⁹ Гц - гнгаГерцах (ГГи) и т.д.

w Скорость и ускорение при гармоническом колебательном движении. Итак, координата x(t) колеблющейся Л/7~зависит от t по зако­ну (**): X if) — A COS (CO^t + <Pq) ⁼ A COS {2Я t/T + <Ро)■ Продифференцировав любое из этих соотношений по времени, полу­чим выражение для скорости V_x(t) = dx(t)/dt = — A COq sin (COtf + щ)= A(Oq COS (co^t + + Тт/2). Ускорение колеблю­щейся /V/7"равно a_x(t) - -Ami cos(m₀t + cp₀) или a_x(t)= Acoq cos(a>₀t +ip₀ + л)--co^xit).

Ф Связь колебательного u вращательного движений. Векторная диаграмма.

Рассматривается равномерное вращение радиус-вектора R вокруг точки Ос угловой скоростью со. При этом в м-т времени t = 0, принятый за начало отсчета времени (полагают, что равномерное вращение не имеет

начала и конца), вектор R образовывал с осью Ох угол фд , а в м-т времени t - угол ф. Очевидно, что

ф = фо + СОt. Проекция этого вектора на ось Ох равна R_x = x{t) = R COS {cot + <Pq) ■ Это

выражение, однако, описывает гармонич. колебание, происходящее вдоль оси Ох около точки О с угловой

частотой а. Т.о., когда вектор R равномерно вращается, его проекция на ось Ох (и Оу) совершает гармони­ческое колебание. Справедливо и обратное утверждение: если нек-рая /МГсовершает гармоническое колебание с амплитудой А и угло­вой частотой СО около точки О, то ей можно сопоставить равномерное вращение вектора А вокруг точки Ос угловой скоростью СО.

Ал cos (mt - л/4),

Такое представление гармонического колебания вращающимся вектором называется векторной диаграммой. Для примера целе­сообразно было на рис., я изобразить векторную диаграмму колебаний —

х₁ = A] cos (cot + я/3); х₂ = А₂ cos(cot + Зяг/4); х₃ = А₃ cos(cot + 7я/б);

а на рис., б — векторная диаграмма колебаний (2), V_x(t) и Cl_x(t). На векторной диаграмме условлено изображать положение векто­ров в момент времени f =0.

'SСложение гармонических колебаний Сложение гармонических колебаний одного направления. Пусть МТ участвует одновременно в двух колебаниях, например, это груз, подвешенный на двух последовательно соединенных пружинах. При этом каждое из колебаний происходит независимо от другого с амплитудами Aj и А₂ и одинаковыми частотами (О. Расположим ось Ох по направлению колебаний. Уравнения исходных колеба­ний имеют вид Xj = Aj cos(cw£ + <^₀₁) и Х₂ = А₂ COS

(cot + ^02)- Уравнение результирующего колебания найдем, исходя из

принципа сложения независимых движений

X — X] -1- х₂

= a, cos(cof + ф01) + а₂ cos(co£ + ф₀₂) = a cos(cot + ф₀)

Из рис. следует, что А — -Ja^ + + 2А_гА₂ cos (<р₀₂ - <£>₀₁) (* * *) Начальная фаза определяется соотношением

С

Л] sin tp _0i + А 2 sin <р ₀₂

будет находиться в интервале |Л₂ — А] | < А < А] + А₂ , т.е. получится негармоническое колебание. Судя по определению

("), гармонии, колебание — это процесс, не имеющий ни начала, ни конца, т.е. продолжающийся вечно (как равномерное прямолиней­ное движение и равномерное вращение). Такие процессы в природе невозможны, перечисленные процессы — это определённая идеа­лизация реально протекающих процессов.

< Биениями называют периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны со и ы+Ды, t причем Ды«а>. 1_ля простоты начало отсчета выбрано так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны 0: Xi=A cos at, x₂=Acos(a+Aa)t.

Результирующее колебание будет иметь

вид:Х = [2А соs(Acot/2)} ■ cos cot — гармоническое колебание с частотой со, амплитуда к-рого изменяется по закону

i

х'

^Биений ⁼ |2А COs(/l(yf/2| с частотой СО _Бкений= Асо (частота биений вдвое больше частоты изменения косинуса).

X" - т

Л Пружинный маятник. Гармонический осциллятор

Уже известно - если в процессе гармонич. колебания /l/Гдвижется вдоль оси х, то ее ко­ордината при таком движении д-на подчиняться закономерности, описываемой (*): y4cos(o3₀/ + 9o)- Рассматривается пружинный маятник, а это уже — тело массы

т, движущееся горизонтально без трения за счет упругости пружины (рис.-»).

Зная зависимость х = x(t) и массу тела т, нетрудно найти силу, которая обеспечивает

dt

(это — 1-ая задача динамики): F_x = та_х; а_х=^-\

такое движение

V,-

dx

-/1(0(3 sin(coo? + фо); a_x = -Amy cos (соо^г + Фо)^=_юО^х > F_x --та^х =-kx , зцесь к=т<л\ - постоянная величи­

dt

на, зависящая от характеристик колеблющейся системы. Итак, гармонические колебания создает сила F_x = -кх, а это и есть упругая сила, подчиняющаяся закону Гука. Теперь м-но написать дифференциальное уравнение (ДУ), описы­

d²x

г», или т —г-

^л dt

= —kx :

вающее колебания: та,.

d²x к . d²x -у- + - ^ = 0; + colx = О dt т dt^{2 0}

Т.о., гармонич. колебания происходят под действием упругой силы F = — кг и описываются ДУ (**). Колебания возникают при деформации растяжения - сжатия некоторого тела, а именно - пружины, и соответствующее периодич. движение происходит вблизи положения равновесия (положение 1 на рис.).

+ COQS = 0 , (* * *)

5(0

понимается переменная, описывающая отклонение нек-рой величины,

здесь под

Физическую систему, колебания к-рой можно приближенно рассматривать как гармонические, называют гармоническим ос­циллятором (ГО, это также идеальный образ — приближённая модель нек-рого колеблющегося реального тела. •Ф Математически временную динамику (изменение во времени) такой системы описывают дифференциальным ур-нием

d²s dt²

описывающей движение колеблющейся системы, от её равновесного положения Sq. Напр-р, это м-т быть изменение длины пружи­ны x(t) при растяжении-сжатии, угол отклонения маятника cp(t) от положения равновесия. Коэффициентом ©о всегда характеризует­ся собственная частота такого отклонения, это — характеристика упругих (или квазиупругих) сил, действующих в системе. Уравне­ние типа (***) называют уравнением гармонического осциллятора, точнее — линейного ГО (ИГО) у^ь ц < Примером физической системы ГО является уже рассмотренный пружинный маятник. Ниже бу­дет в качестве примеров ГО проанализировано динамическое поведение таких систем как физический и математический маятники (позднее — в модели ГО будут изучены колебания электрических зарядов и токов в электромагнитном колебательном контуре).

>Л Кинетическая, потенциальная и полная энергия колебательного движения.

На рис. пружинный маятник совершает колебания вдоль оси Ох около положения равновесия точки О с амплитудой А„„ свободные колебания ДГО описываются функциями x(t) — A_w COS СО₀f ;

-А_тC0q sin CO■ Используя соответствующие формулы для энергий, несложно получить,

mv_x

9 9 9

rnci)()A_m sin coQt

1-ых, W_k

выражение для мгновенного значения кинетич. энергии; во-2-ых,

kx 1 2 _Л 2 2 ,

W_k + W =

vV = —= — nia>Q А_т cos соqt - мгновенное значение потенциальной энергии (зависимость потенциальной энергии от коор­

динат, напр-р, как на рис. —», U(x) = W(x) именуют потенциальной функцией), наконец, в-3-их,

ffl ffl й А ^ /2 = Const — полная энергия пружинного маятника.

< В точке О (см. рис.) Е = Wk, т.е. вся механическая энергия превратилась в кинетическую; в точках А'и В Е= W - вся механиче­ская энергия превратилась в потенциальную (пружина максимально растянута или сжата); а в точке С величины энергий Wjt и W имеют некоторые промежуточные значения. Зависимость И/ = U(x) (подобно такой, как изображена на рис.) называется потенциальной ямой. Таким образом, с энергетич. точки зрения пружинный маятник движется в потенциальной яме между точками поворота А' и В.

2 2/ 2 Итак, энергия ПГО определяется по формуле Е - ГПСОц А_т /2 . Из этого выражения следует, что Е~С0₀ (квадрату частоты) и

Е~ Ащ (амплитуде колебания).Механические колебания / ММФ (ТХВ - 7_12)

Лекция 8 — ^ Физический и математический маятники. Затухание осциллятора. л —

ДИНДМИКВ КОАе О а Н И И Добротность осциллятора . Резонанс механических колебаний .

•вг Физический маятник

Физическим маятником называют твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг гори­зонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс тела (I- расстояние между точкой подвеса и центром масс). Если физический маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол (р, то возникает

момент силы, возвращающей его к положению равновесия (р₀ = 0:М = [/ Р].Следуя

ная для решения Ду-. F_{mp x} = —jv_x = —у — ; здесь у - коэффициент сопротивления движению (параметр системы

основному уравнению динамики вращат. движения—М = Is = I d'cpjdt² (I — момент инерции

маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О). Дифференциальное уравнение (ДУ) движения маятника тогда: I d²(pjdt² = -[I Р] ; ду в скалярном виде —

I d~(p/dt~ + mgl sin <p(t) - О - уравнение синус-Гордона. При малых углах: sin (р « ср ,

тогда - d ² ср / dt ² + mgl ср /1 = 0 —уравнение ГО для угла

отклонения <p(t). Т.о., при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания