9 Кинематика вращательного движения.

или

При описании вращательного движения используют полярные координаты R и <р, где R — радиус (расстояние от центра вращения до MI), a ср- полярный угол (угол поворота). Элементарные повороты (обозначаются Aty или d<p) можно рассмат­ривать как псевдовекторы. Угловое перемещение d(p - векторная величина, модуль к-рой равен углу поворота, а направле­ние совпадает с направлением поступательного движения правого винта Т.

d. <p -

= со Вектор со направлен

dt ' ' dt dt² вдоль оси вращения как и вектор dtp, т.е. по правилу правого винта. Вектор е направлен вдоль оси вращения в сторону

вектора приращения угловой скорости (при ускоренном вращении вектор е сонаправлен вектору СО, при замедленном— противонаправлен ему). Единицы угловой скорости и углового ускорения-pad/с и pad/с .

> Линейная скорость точки связана с угловой скоростью и радиусом: _v _ _lim ^L _ _lim ^R&<P _

4Ш 41 Д1-+0 At

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное

v Угловая скорость: со = ср, угловое ускорение: s

R lim = о>1

&i~> о Д f

произведение: V = [coR] - По определению векторного произведения его модуль равен

= V = coR sin а, а — угол между векторами со и R, движение по окружности означает, что всегда a = jt/2 , т.е., V - coR; направление скорости v совпадает с направлением поступательного движения правого

винта при его вращении от со к R. При равномерном вращении со - Const, и поскольку _ то ср = cat.

dt '

> Равномерное вращение по окружности можно характеризовать периодом вращения Т = IxRjv - IkR/coR - Ik/co - временем, за которое точка совершает один полный оборот. Частота вращения v -число пол­ных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени: у - ут, [с^-1] - [Гц] -единица частоты (Герц). Итак, определим связь линейных и угловых характеристик вращат.

d - — со dt

со

движения: S = R<p, v = Ra, a_t = Rs, я„ = Rco² ; также аналогично, как для постулат, движения, в случае

равноускоренного вращения (имеется в виду, что £ = Const) : со - a>₀ + st, ср — co₀t + et¹ jl.Кинематика (2_ММФ / ТХВ _12)

Лекция 3 ' ^ка поступотельного движения " Законы Ньютона. Сипа и физическое поле. Силы в

... . .>'"' i". ж^З&лУ^-- анике. Энергия как универсальная характеристика

Q ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ МТ. В основе динамики лежат 3 закона Ньютона. В качестве 1-го закона динамики Ньютон кон­кретизировал закон, установленный еще Галилеем: всякая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямо­линейного движения, пока и поскольку воздействие со стороны других тел не побуждает его изменить это состояние. Этим положением устанавливается, что состояние покоя или равномерного прямолинейного движения тел не требует для своего под­держания каких-либо внешних воздействий. В этом проявляется особое динамическое свойство физических тел, называемое их инерт­ностью. Явление же сохранения состояния покоя или равномерного прямолинейного движения тел при отсутствии воздействия со сто­роны других тел называют инерцией. Поэтому 1-ый закон Ньютона называют законом инерции.

Следует отметить, что всякое движение имеет смысл, если указана система отсчета. В формулировке 1-го закона Ньютона нет указания на выбор систе­мы отсчета, но, разумеется, что утверждение относится к движению или покою в определенной системе отсчета. Системы отсчета, в которых выполняется 1 - ый закон Ньютона, - инерциальные. Системы же отсчета, которые движутся с ускорением относительно инерциальных - неинерциальные. 1-ым законом Ньютона постулируется существование инерциальных систем отсчета - таких, относительно к-рых материальная точка (МТ). не подверженная воздействию других тел, движется равномерно и прямолинейно.

Чтобы описывать воздействия, упоминаемые в 1-ом законе Ньютона, вводят понятие аиы. Для описания инерционных свойств тел вводится понятие мас­сы. Сила - векторная величина, являющаяся мерой механического действия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобре­тает ускорение или изменяет форму и размеры.

Механическое взаимодействие может осуществляться как между непосредственно контактирующими телами (например, при ударе, трении, давлении друг на друга и т. п.), так и между удаленными телами.

-Ф Особая форма материи, связывающая частицы вещества в единые системы и передающая с конечной скоро­стью действие одних частиц (или тел) на другие, называется физическим полем или просто полем. У Взаимодействие между удаленными телами осуществляется поср-вом связанных с ними гравитационных и электромагнитных полей.

• Пользуясь понятием силы, в механике обычно говорят о движении и деформации рассматриваемого тела под действием приложен­ных к нему сил. При этом, конечно, каждой силе всегда соответствует какое-то определенное тело или поле, действующее с этой силой.

• Сила F полностью задана, если указаны ее модуль F, направление в пространстве и точка приложения.

У Прямая, вдоль к-рой направлена сила, называется линией действия силы. Центральными называют силы, к-рые всюду направлены вдоль прямых, проходящих через одну и ту же неподвижную точку - центр сил, и зависят только от расстояния до центра сил. Поле, дей­ствующее на материальную точку с силой F, называют стационарным полем, если оно не изменяется с течением времени.

чг Одновременное действие на материальную точку нескольких сил эквивалентно действию одной силы, называемой равнодействующа!, (или результирующей), силой и равной их геометрической сумме.

4* Механические системы. Механической системой называется совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое. Тела, не входящие в состав исследуемой механической системы, называются внешними телами. Силы, действующие на систему со стороны внешних тел, называются внешними силами. Внутренними силами называются силы взаимодействия между частями рассматриваемой системы. Механическая система называется замкнутой, или изолированной системой, если она не взаимо­действует с внешними телами (на нее не действуют внешние силы).

• Тело называется свободным, если на его положение и движение в пространстве не наложено никаких ограничений, и - несво­бодным- если на его возможные положения и движения наложены таили иные ограничения, называемые в механике связями. Не­свободное тело можно рассматривать как свободное, заменив действие на него тел, осуществляющих связи, соответствующими сила­ми. Эти силы называются реакциями связей, а все остальные силы, действующие на тело, - активными силами.

-Ф Масса. Масса - физическая величина, одна из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные и гравитацион­ные свойства. Единица массы - килограмм (кг). Плотностью тела D в данной его точке М называется отношение массы dm малого элемента тела, включающего точку М, к величине dV объема этого элемента: D = dm/dV .

• Единица силы- ньютон (Н): 1 Н - сила, к-рая массе в 1кг сообщает ускорение 1м/с² в направлении действия силы.

тг Импульс. Векторную величину р, равную произведению массы т МТ (тепа) на ее скорость V, и имеющую направление ско­рости, называют импульсом (или количеством движений) этой МТ {тепа): р = mv.

•ф 2-ой закон Ньютона. 2-ой закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - отвеча­

ет на вопрос, как изменяется механическое движение МТ(тепа) под действием приложенных к ней сил. Ускорение, приобретаемое телом (материальной точкой), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и

обратно пропорционально массе МТ (тела): Я = F/m или F = ШД = 111 — V = — (mi>) = — р = р . Т.о., формули­ровка 2-ого закона Ньютона в более общей форме: скорость изменения импульса МТ равна действующей на нее силе

та = F => —— р — F. Последним соотношением выражается основное уравнение динамики поступательного движения, dt

> Векторную величину VAt именуют элементарным импульсом силы F (за относительно малое время её действия At). Во­обще, импульс силы за некоторый конечный промежуток времени т определяется интегралом J F dt . Согласно 2-ому закону Ньютона, изменение импульса тела (МТ) Ар = р₂ - равно импульсу действующей на него силы: = FAt.

• Основной закон динамики выражает принцип причинности в классической механике - однозначная связь между изменени­ем с течением времени состояния движения и положения в пространстве МТ и действующие на нее силой, что позволяет, зная на­чальное состояние МТ, вычислить ее состояние в любой последующий момент времени.

В механике большое значение имеет принцип независимости действия сил, если на МТ действует одновременно несколько сил, то ка­ждая из этих сил сообщает МТ ускорение согласно 2-ому закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения ряда задач. -Ф 3-ий закон Ньютона. В окружающей человека действительности проявляется взаимодействие матери­альных образований. Оно проявляется во взаимном влиянии тел и приводит к изменению их состояний. Соотно- Д J^h

| vc-эмаалиаэется 3-им законом Ньютона: две материальные точки взаимодейст-

Б WW С ПК Д. ~

соединяюи^! эти i

2-ую точку со стороны 1-ой F₁₂ = т-^й-,, г у-. = ГП₂а ₂- ^Из записанных соотношений вытекает, что га₁Я₁ = -т₂а ₂ ^и

я_г/5₂ = - т₂/щ •

Это означает ЧТО при взаимодействии двух МТ приобретаемые ими ускорения обратно пропорциональны их массам и направлены в противоположные стороны. Силы в механике - это всегда силы взаимного действия. Они обладают следующими особенностями:

b

во-1-ых, силы Fj 2 и F₂ , приложены к разным материальным точкам и могут взаимно уравновешиваться только в том случае, когда

эти точки принадлежат одному и тому же твердому телу; во-2-ых, силы F₂ 1 и Fj ₂ возникают одновременно и парами; в 3-их, силы F₂ \

и F, ₂ имеют одну и ту же природу. Из 3-его закона Ньютона следует, что в любой механической системе МТ геометрическая сумма всех сил взаимодегХапвия точек (внутренних сил) равна нулю. а СИЛЫ В МЕХАНИКЕ

•Ф Силы тяготения (гравитационные силы). Тела с массами иг, и т₂, находясь на расстоянии г, притягиваются с силой вели­чины F = G Wi Шг/ г² - закон всемирного тяготения. Здесь G = 6.67-10"¹¹ м³/кг-с² - гравитационная постоянная, впервые с приемлемой точностью измеренная Г.Кавендишем ещё в 1798 г.

В СО, связанной с Землей, на всякое тело массой m действует сила Р = mg, называемая силой тяжести- сила, с которой тело при­тягивается Землёй. Под действием силы притяжения к Земле все тела падают с одинаковым ускорением g = 9,81 м/с², называемым ускорением свободного падения (g = GMJR_:i², здесь Mi, R₃ - масса и радиус планеты Земля).

Весом тела - называется сила, с которой тело (из-за тяготения к Земле) действует на опору или натягивает нить подвеса. Сила тяже­сти действует всегда, вес же проявляется, если на тело, кроме силы тяжести, могут воздействовать другие силы. Сила тяжести равна

весу тела в том случае, когда ускорение тела относит-но Земли равно 0. В противном случае Р = — aj, где Я - ускорение тела с

опорой относит-но Земли. Если тело свободно движется в поле силы тяготения, то a — g, и вес равен 0, т.е. тело будет невесомым. Невесомость - это состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести.

-Ф Силы упругости возникают в результате взаимодействия тел, сопровождающегося их деформацией. Для примера рассматривается деформация растяжения (сжатия). Имеется стержень длиной £₀ и площадью поперечного сечения S. Один конец стержня закреплен, а к

другому приложена сила F , под действием к-рой точка приложения силы совершила перемеще­ние А£ , т.е. стержень удлинился на величину А£ (рис.-»). Величину F/S именуют усилием, это - внешняя сила, приходящаяся на ед-цу площади. Отн-ние £ = Aljt₀ наз-ся относит, дефор­мацией растяжения (если А£ <0, то - сжатий). При растяжении стержня в нем возникают силы упругости, одинаковые в любом сечении стержня, противодействующие внешней силе. Величина а = F_ynp jS наз-ся внутренним напряжением или просто напряжением. Ещё в

17в. Туком установлен закон, описывающий малые деформации (е«1): при малых деформациях упругое напряжение, возникающее внутри тела, прямо пропорционально относительной деформации. Закон Гука (3Г) м-но записать так: F = (ES/£_q)A£ = Ш,

здесь к - коэффициент жесткости, зависит не только от упругих свойств, но и от размеров деформируемого тела. Так как F_ljnp всегда противоположен вектору At, то ЗГ записывают так: F_ynp = -kA£ или (F_ljnp )_х = -k(M)_x , или Fy_np = -kx проекция век­тора (А~С_Х) нередко обозначается как координатная переменная х - удлинение стержня (в расчетах довольно часто используют запись

ЗГ именно в этой форме). В механике также различают ещё деформацию сдвига, возникающую под действием скалывающей силы, и деформацию кручения, вызываемую моментом М действующих на тело вращающих сил F.

Силы трения возникают при перемещении соприкасающихся тел и частей тела относительно друг друга. Трение покоя возникает

при попытках сдвинуть твердое тело. При приложении внешней силы F возникает равная по величине и противоположная по направле­нию сила трения покоя (зависит от материала и состояния трущихся поверхностей, а также силы, прижимающей перемещаемое тело к поверхности скольжения - силы нормального давлений). При нек-рой максимальной силе F = F_mpCK тело начинает скользить. Сила трения скольжения возникает при скольжении данного тела по поверхности другого: = цЫ, ц - коэффициент трения

скольжения, зависящий от природы и состояния соприкасающихся поверхностей; N — сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу. Сила трения направлена по касательной к трущимся поверхностям в сторону, противоположную движению данного тела относительно другого.

• Сухое трение возникает между трущимися твердыми телами. Жидкое трение возникает в жидкостях и газах - при движении в них твердых тел или при движении одних слоев жидкости (газа) относительно других. Но даже и при движении твердого тела трение возни­кает между тонким слоем жидкости, прилипшей к телу и движущимся со скоростью твердого тела и прилегающими слоями жидкости.

• Силы жидкого трения зависят от размеров и формы тела, состояния его поверхности, свойств жидкости (жидкости бывают более и менее вязкими, например, глицерин и вода), а также скорости движения тела. При небольших скоростях сила жидкого трения равна

F_mp = -г_лУ. При увеличении скорости этот закон заменяется другим F_mp — —r₂V². Здесь Ц и Т₂ — коэффициенты сопротивления.

• Интересной особенностью силы жидкого трения является отсутствие силы трения покоя. Поэтому даже небольшая сила способна вы­звать движение тела в воде. Наличие жидкой прослойки между твердыми трущимися поверхностями существенно уменьшает силу тре­ния. Поэтому применяются различные жидкие смазки и разрабатываются все более совершенные. Человек затрачивает огромные умст­венные и материальные ресурсы для преодоления сил трения. Но если бы вдруг трение исчезло в природе, то жизнь, по-видимому, стала бы невозможной. Сила упругости и силы трения имеют электромагнитную природу.

О Энергия - это универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С различными фор­мами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную... Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Работа представляет собой процесс превращения одних форм энергии в другие.

•Ф Работа силы - это количественная характеристика процесса обмена энергией между взаимодействующими телами. При прямо­линейном движении тела под действием постоянной силы F, к-рая составляет нек-рый угол а с направлением перемещения, работа этой силы равна: А = FS cos а. В общем случае сила в зависимости от точки на траектории м-т изменяться как по модулю, так и по направлению, поэтому этой формулой пользоваться нельзя. Однако на элементарном (бесконечно малом) перемещении dr можно ввести скалярную величину - элементарную работу с/А силы F \ dA = (f c/r J = F dS cos a = F_s dS .

Динамика поступательного движения - ММФ (3 - ТХВ_ 12)

Лекция 4 I Закона сохранения | Работа. Работа в потенциальном поле. Кинетическая и потенциальная ! энергии И импульса | энергия. Центр массы тела. Импульс системы тел. Удар шаров.

Работа переменной силы. Уже сказано, что энергетич. характеристики движения вводятся на основе понятия механической работы или работы силы А. Работой А А, совер­шаемой постоянной силой F, называют физич. величину, равную F_r(x) скалярному произведению векторов силы и перемещения

AA = (F ■ Аг) , или произведению модулей векторов силы и переме­щения, умноженному на косинус угла а между этими векторами (рис. 1): АА - F ■ Аг COS a = F_rAr. При а = 90° работа, совершаемая силой

F\ равна нулю. В системе СИ работа измеряется в джоулях (,Дж). Джоуль равен работе, совершаемой силой в 1 /Уна перемещении 1 мв направлении действия силы. Если проекция силы /> на направление перемещения т не остается постоянной, работу следует вычислять

для малых перемещений Аг, и суммировать результаты: Л = ^ .А,- = F_r.Ar. Это сумма в преде-

J J

ле (Аг,-* 0) переходит в интеграл. Графически работа определяется по площади криволинейной фигуры под графиком ГДл) (рис. 2,я). Примером силы, модуль которой зависит от координаты, может служить упругая сила пружины, подчиняющаяся закону Гука. Для того, чтобы растянуть пружину, к ней нужно при­ложить внешнюю силу F, к-рая пропорциональна удлинению пружины (рис. 2,6): F = — kx. Зависимость модуля внешней силы кх от координаты х изображается на графике прямой линией (рис. 2,в). По площа­ди треугольника на рис. рис. 2,в м-но определить работу, совершенную внешней силой, приложенной к

правому свободному концу пружины: А = кх^ jl. Этой же формулой выражается работа, совершенная

внешней силой при сжатии пружины. В обоих случаях работа упругой силы равна по модулю работе внеш­ней силы и противоположна ей по знаку.

S Если к телу приложено несколько сил, то общая работа всех сил равна алгебраической сумме работ, совершаемых отдельными силами и равна работе равнодействующей приложенных сил.

У Работу силы, совершаемую в единицу времени, называют мощностью. Мощность Я (иногда механич. мощность обозначается и как N) — это физическая величина, равная отношению работы ДА к промежутку времени At, в течение которого совершена эта работа:

Р = АА/ At, поэтому удобно характеризовать мощность как скорость совершения работы. Мощность Р м-но выразить как скалярное

произведение вектора силы на вектор скорости, с к-рой движется точка приложения этой силы: Р = — А = F — г — (ро). Использу-

dt dt

ется единица мощности Ватт (Вт): 1 Вт- мощность, при к-рой за время 1 ссовершается работа 1 Дж. 1 Вт-1 Дж/с.

Кинетическая энергия. Итак, если тело нек-рой массы т двигалось под действием приложенных сил, и его скорость изменилась от величины v\ до V2, то силы совершили определённую работу АА. Между изменением скорости тела и работой, совершенной приложен­ными к телу силами, существует связь. Эту связь проще всего установить, рассматривая движение тела вдоль прямой линии под дейст­вием постоянной силы F. В этом случае векторы силы F, перемещения Аг, скорости v и ускорения а направлены вдоль одной прямой, и тело совершает прямолинейное равноускоренное движение. Направив координатную ось вдоль прямой движения, можно рассматривать F, г, v и а как алгебраич. величины (положительные или отрицательные в зависимости от направления соответствующего вектора). Тогда работу силы можно записать как Д А = F Аг. При равноускоренном движении перемещение г выражается формулой:

Аг = [z>2 - vf)/2a . Тогда ДА = FAr = та (vj - vf)/la

V\ j/'Za . Тогда ДА = t AT = ma \U₂ ~ Vi j/za —выражение показывает, что работа, совершенная силой (или равнодействующей всех сил), связана с изменением квадрата скорости (а не самой скорости). Далее записывают, что ДА = W_k2 — Wfci, где Wfa 2 = mf]²₂/2 . Вводят, т.о., физич. величину, выражаемую половиной произведения массы тела на

квадрат его скорости, именуемую кинетической энергией тела: ТД^ = ИГО²/2 (кинетич. энергию нередко обозначают также буквой 7)

Рис.1

Рис.2

— работа приложенной к телу равнодействующей силы равна изменению его кинетич. энергии. Это утверждение называют теоремой о кинетич. энергии. Теорема о кинетич. энергии справедлива и в общем случае, когда тело движется под действием изменяющейся силы, направление которой не совпадает с направлением перемещения. Кинетич. энергия - это энергия движения. Кинетическая энергия тела массой Ш, движущегося со скоростью V равна работе, которую должна совершить сила, приложенная к покоящемуся телу, чтобы сооб-

щить ему эту скорость, также если тело движется со скоростью v, то для его полной остановки необхо­димо совершить работу Л = W_k = mv¹12.

> Консервативные силы. Потенциальное поле. Наряду с кинетич. энергией или энергией дви­жения в физике важную роль играет понятие потенциальной энергии или энергии взаимодействия тел. Потенциальная энергия (ПЭ) определяется взаимным положением тел (например, положением тела относит-но поверхности Земли). Понятие ПЭ м-но ввести только для сил, работа которых не зависит от траектории движения тела и определяется только начальным и конечным положениями. Такие силы называются консервативными. Работа консервативных сил на замкнутой траектории равна нулю. Это утверждение поясняет рис. 3,а. Свойством консервативности обладают сила тяжести и сила упругости. Для этих сил можно ввести понятие потенциальной энергии. Физические силовые поля, в к-рых действуют консервативные силы, называют потенциальными.

Потенциальная энергия. Если тело перемещается вблизи поверхности Земли, на него действует постоянная по величине и направлению сила F. Её работа зависит только от вертикального перемещения тела. На любом участке пути работу силы тяжести можно записать в проекциях вектора перемещения А г на вертикальную ось ОК(рис. 3,6): АА = FAT COS СС = F_rAf = РАт, где Р = Tng —сила тяжести. При подъёме тела вверх сила тяжести совершает

Рис.З

a

б

Аг

a\

.J i

P'ISg

>h

отрицательную работу, так как Аг > 0. Если тело переместилось из точки, расположенной на высоте h_b в точку, расположенную на высо­те h₂ от начала координатной оси OY, то сила тяжести совершила работу ДА = -mg(h₂ — h\) = -(mgh₂ - mgh{) = - (Wi-Щ). Физич. ве­личину W = mgh называют потенциальной энергией тела в поле силы тяжести. Она равна работе, к-рую совершает сила тяжести при опускании тела на нек-рый нулевой уровень. Работа силы тяжести равна изменению ПЭ тела, взятому с противоположным знаком. По­тенциальная энергия W зависит от выбора нулевого уровня, т. е. от выбора начала координат оси OY. Физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а её изменение A\J = W₂- Щ при перемещении тела из одного положения в другое. Это изменение не зависит от выбора нулевого уровня.

Понятие ПЭ можно ввести и для упругой силы. Эта сила также обладает свойством консервативности. Растягивая (или сжимая) пружину, м-но делать это различными способами — просто удлинить пружину на величину х, или сначала удлинить ее на 2х, а затем уменьшить удлинение до значения я: и т. д. Во всех этих случаях упругая сила совершает одну и ту же работу, которая зависит только от удлинения пружины л: в конечном состоянии, если первоначально пружина была недеформирована. Эта работа равна работе внешней

силы А, взятой с противоположным знаком А - ~Аущ₀ = - кх²/2 - растянутая (или сжатая) пружина способна привести в

движение прикрепленное к ней тело, т. е. сообщить этому телу кинетич. энергию. Следовательно, такая пружина обладает запасом

энергии. Потенциальной энергией пружины (или любого упруго деформированного тела) называют величину VV = fcx²/2 . Эта ПЭ

равна работе силы упругости при переходе из данного состояния в состояние с нулевой деформацией. Если в начальном состоянии пружина уже была деформирована, а ее удлинение было равно Хь тогда при переходе в новое состояние с удлинением х₂ сила упругости совершит работу, равную изменению ПЭ, взятому с противоположным знаком:

д А = - Д U = - (W ₂ - W , ) = - (b | /2 - кх I /г).

■s Потенциальная энергия при упругой деформации - это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой силами упругости. Свойством консервативности обладают наряду с силой тяжести и силой упругости другие виды сил, например, сила электростатич. взаимодействия между заряженными телами. Сила трения не обладает этим свойством. Работа силы трения зависит от пройденного пути. Понятие ПЭ для силы трения вводить нельзя. Закон сохранения и превращения энергии. Отметим далее, что в обоих случаях работа равна изменению ПЭ, вернее, её убыли:

АА = -All. Учитывая далее, что по определению АА = F_r Аг, м-но записать, что F_r = , т.е. проекция консерва-

Аг

тивной силы на нек-рое направление г равна скорости убывания потенциальной энергии в этом направлении.

По теореме о кинетич. энергии ДА = AW_k = Mfo-H'kb также при этом АА = - Д11 = - (Щ.-Щ), тогда, однако, - (W₂-W_t) = Wfo-^ki- Следоват-но, для механич. системы, переходящей из одного состояния в другое при выполнении работы д-но выполняться равенство W\+ = W\a- Сумма кинетич. и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между

собой силами тяготения и силами упругости, остается неизменной. Это утверждение выражает закон сохранения энергии в механич. процессах, к-рый, вообще, является следствием законов Ньютона. Сумму W + Wy называют полной механической энергией. Закон со­хранения механич. энергии выполняется только тогда, когда тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой консервативными силами, то есть силами, для которых можно ввести понятие ПЭ.

Q В реальных условиях практически всегда на движущиеся тела наряду с силами тяготения, силами упругости и другими консерва­

тивными силами действуют силы трения или силы сопротивления среды. Уже подчёркнуто, что сила трения не является консервативной. Если между телами, составляющими замкнутую систему, действуют силы трения, то механич. энергия не сохраняется. Часть механиче­ской энергии превращается во внутреннюю энергию тел (нагревание окружающих тел или среды). В этом случае говорят о диссипации энергии, такие физич. системы называют диссипативными. Однако отметим, что при любых физических взаимодействиях энергия не воз­никает и не исчезает. Она лишь превращается из одной формы в другую. В случае диссипативных систем говорят о законе сохранения полной энергии Е — суммы полной механической энергии и, например, внутренней энергии, к-рая изменяется при нагревании. Этот экспе­риментально установленный факт выражает фундаментальный закон природы — закон сохранения и превращения энергии. Он является следствием однородности времени - инвариантности физических законов относительно выбора начала отсчёта времени.

Закон сохранения импульса. Физич. тело м-но рассматривать как систему материальных точек {МТ). В механике Ньютона из-за независимости массы от скорости импульс системы м-т быть выражен через скорость ее центра масс. Центром масс (или центром инер- ций) системы материальных точек (СМТ) называют воображаемую точку С, положение к-рой характеризует распределение массы этой

СМТ. Ее радиус-вектор равен r_c — j т j j'm, где my и V j — соответственно масса и радиус-вектор/'-той МТ\ N- число МТв

системе; m = ^mj ~ ^ма^сса системы. Импульс СМТ выражается так р = mdr^ jdt ~ mvq. Движение тела рассматривают

как движение СМТ, и в ряде ситуаций это движение м-но представить движением его центра массы.

Чаще рассматриваются механич. системы как совокупности физич. тел, образующих в своём взаимодействии единое целое. Тела, не входящие в состав исследуемой механической системы, называют внешними телами. Силы, действующие на систему со стороны внеш-

—■вн

них тел, называют внешними силами (F k )■ Внутренними силами называют силы взаимодействия между частями рассматриваемой системы. Механическая система тел называется замкнутой, или изолированной системой, если она не взаимодействует с внешними

. , -~вн

телами (на нее не действуют внешние силы, т.е. / ,, Fk — 0).

Импульс замкнутой системы тел не изменяется с течением времени (сохраняется)- формально это нетрудно указать, следуя

dp —в" v т?⁶"

основному уравнению динамики —— = ^^ Fk , здесь r j —сумма внешних сил, действующих на систему. Поск-ку рас-

—вн d~p —- itii щ т_г №+ж_г

сматривается замкнутая система, ^Г^ Fk — 0, т.е., —— = 0, откуда р — Const. СЗ"* G^* QGh 4

dt неупругий удар

> Закон сохранения импульса является следствием однородности пространства, при парал- /ш^'шк^

лельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства не f^—(jg- f^T/J изменяются (не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета). ~ упругий удар

Из закона сохранения импульса следует, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.

s Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса позволяют находить решения механических задач в тех

случаях, когда неизвестны действующие силы. Примером такого рода задач является ударное взаимодействие тел.

Ударом (или столкновением) принято называть кратковременное взаимодействие тел, в результате которого их скорости испы­тывают значительные изменения (см. рис.4). Во время столкновения тел между ними действуют кратковременные ударные силы, вели­чина которых, как правило, неизвестна. Поэтому нельзя рассматривать ударное взаимодействие непосредственно с помощью законов Ньютона. Применение законов сохранения энергии и импульса во многих случаях позволяет исключить из рассмотрения сам процесс столкновения и получить связь между скоростями тел до и после столкновения, минуя все промежуточные значения этих величин.

В механике часто используются две модели ударного взаимодействия - абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары. Аб­солютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие, при котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и дви­жутся дальше как одно тело. При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Она частично или полностью пере­ходит во внутреннюю энергию тел (нагревание). Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел. Тела после такого удара продолжают движение раздельно с различной скоростью. Обе модели пре­дусматривают выполнение закона сохранения импульса, (смотреть по теме материалы лабораторной работы №8 по механике).

Законы сохранения энергии и импульса - ММФ(ТХВ- 4_12)

Реактивное движение. Основные характеристики динамики БД ФТ.

Закон сохранения импульса позволяет находить скорости взаимодейст­вующих тел даже тогда, когда значения действующих сил неизвестны. Примером может служить реакция артиллерийского орудия при выстреле.

^ При стрельбе из орудия возникает отдача - снаряд движется

вперед, а орудие - откатывается назад. Снаряд и орудие - два взаимодействующих тела. Скорость, которую приобретает орудие при отдаче, зависит только от скорости снаряда и отношения масс (рис. 1,а). Если скорости орудия и снаряда обозначить через v и v о, а их массы через М и т, то на основании закона сохранения импульса можно записать в проекциях на ось Ох:

Mv + mv₀ = О -» v = - mv_Q/M . (*)

-ф Движение тел переменной массы. Формула Циолковского. Очень важным примером использования закономерности в изменении импульса, выражаемой соотношением Р| — Р2 = FAt, является реактивное движение. Реактивное движение также основано на принципе отдачи. В ракете при сгорании топлива газы, на­гретые до высокой температуры, выбрасываются из сопла с большой скоростью U относительно ракеты. Обозначим массу выброшен­ных газов через Am, а массу ракеты после истечения газов через М. Тогда, считая систему «ракета + газы» замкнутой, на основе фор­мулы (*) м-но записать для скорости ракеты после истечения газов: V = — U Аш/М (здесь предполагалось, что начальная

скорость ракеты равнялась нулю). Полученная формула для скорости ракеты справедлива лишь при условии, что вся масса сгоревшего топлива выбрасывается из ракеты одновременно.

< На самом деле истечение происходит постепенно в течение всего времени ускоренного движения ракеты. Каждая последую­

щая порция газа выбрасывается из ракеты, к-рая уже приобрела нек-рую скорость. Для получения точной формулы процесс истечения

газа из сопла ракеты нужно рассмотреть более детально. Пусть ракета массой М движется со скоростью V, так что её импульс равен Р| = Ми . За промежуток времени At сгорела масса топлива ЛМ < 0 (убыль массы ракеты) (рис.1,б), и образовавшиеся газы Am > 0 (очевидно, что Am + ЛМ = 0 , а М ^ Const) отделились от ракеты со скоростью й, и ракета приобрела скорость V + Av. Поэтому импульс системы ракета — газы будет равен Р₂ = (М + ДМ)(и + Ду) + ДМ^У + и), здесь V + й — скорость газов относительно неподвижной ИСО. Используя записанные для Pj, Р2 выражения в формуле для импульса силы Р] - Р2 = FAt, придем к соотношению М Av/At = F + й ДМ/At . (* *)

В уравнении F — внешние силы, например, при старте ракеты с Земли это — сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Для М = Const соотношение (**) представляет обычное ур-ние 2-ого закона Ньютона. Составляющую Fp = й ДМ/Д £ называют

- известное в механике как уравне-

ДМ/Д£ — т. е., чем быстрее сгорает топливо и с большей скоростью вылетают про-

реактивной силой. Видно, что Fp ~и и F^ - дукты горения, тем больше реактивная сила (символ ~ означает пропорциональность).

■S Отметим далее, что при переходе к дифференциальным элементам скорости, массы и времени соотношение (**) выражает собой

дифференциальное уравнение движения тел переменной массы jyj d v

dt

dt

= F

ние Мещерского. Его решением в предположении равенства нулю внешних сил (т.е., например, движении ракеты вдали от массивных космических тел) получают формулу Циолковского: V = U In (Mq/M), Mq — начальная масса ракеты. Из формулы

Циолковского следует, что конечная скорость ракеты может превышать относительную скорость истечения газов. Следоват-но, ракета м-т быть разогнана до больших скоростей, необходимых для космических полетов. Но это м-т быть достигнуто только путем расхода значительной массы топлива, составляющей большую долю первоначальной массы ракеты. Напр-р, для достижения 1-ой космической скорости 0 = 1)! = 7,9-Ю³ м/с при и = 3-10³ м/с (скорости истечения газов при сгорании топлива бывают порядка 2-4 км/с) стартовая масса одноступенчатой ракеты должна примерно в 14 раз превышать конечную массу. Для достижения конечной скорости у = 4и отношение Mq /М должно быть равно 50.

© Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси Любое твердое тело можно мысленно разделить на бесконечно большое количество бесконечно малых частиц, которые можно рассматривать как материальные точки (МТ). Распределение масс в механиче­ской системе характеризуется центром масс (инерции). Уже известно как определяется радиус-вектор центра масс механической системы, состоящей из и материальных точек. Для твердого тела центр инерции (масс) совпадает с центром тяжести. Центр тяжести твердого тела - неизменная связанная с твердым телом точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на все частицы этого тела. Это позволяет применять к исследованию движения твердого тела закономерности, полученные для материальной точки. Моделью твердых тел является абсолютно твердое тело (АТТ). Это такое тело, которое под действием внешних сил не деформируется, т.е. взаимное расположение частиц в нем не изменяется.

Пусть нек-рое твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси Ох с угловой скоростью со. Известно, что вектор СО в выбран­ном случае в соответствии с правилом правого винта направлен по оси вращения вверх. Разобьём мысленно это тело на бесконечно большое число бесконечно малых элементов пц, которые можно рассматривать как материальные точки. Все эти элементы их, будут описывать окружности, центры которых лежат на оси вращения ОО', с одной и той же угловой скоростью со. Рассмотрим произвольный

Лекция 5

m

а

а

■km

X'

fc-ый элемент. Его линейная скорость направлена по касательной к окружности радиуса Г^ и равна Vk — [С0Тк] ■ Импульс этого эле­мента (массой mfc): Р_к =щ-ц. Момент его импульса Ь_к = Г_к х Ш_кй_к . Момент импульса тела равен сумме I = ^к- ^Момен~ том импульса (количества движения) материальной точки(МТ) А относит-но неподвижной точки О называют физическую величину, определяемую векторным произведением: L — [г mv] = [г р] . Моментом импульса относит-но неподвижной оси х называют скалярную величину L_x, равную проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относит-но произвольной точки О данной оси. Значение момента импульса L_x не зависит от положения точки О на оси х.

У Очевидно, что моменты импульса всех частиц (элементов) будут направлены по оси вращения Ох, поэтому векторную сумму можно заменить арифметич.: L = ^ _{= J} L_k => L = _{= 1} ^rk^mk^vk =ELl ^гк^тк^югк = ®ZJ = 1 ^m^^rk = <0 • I. В итоге

• .олучено соотношение: L = I СО ; здесь / = ₌ ] ^mk^rk ~ момент инерции тела относительно неподвижной оси ОО'. Мо­мент инерции i оказывается удобным использовать как характеристику инертности тел (аналог массы) при вращательном движении. У Уже известно, что в качестве характеристики инертности при вращательном движении материальной точки или твердого тела исполь­зуется не масса (или не просто масса), а момент инерции. Моментом инерции МТ относительно оси вращения называют произведение массы

этой точки на квадрат расстояния от оси: I = тг² . Моментом инерции системы {тела) относительно от вращения называют физическую величину, равную сумме произведений масс п материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

i sr'i 2

/ = Х/=1 т,г

7=1 "V; •

^ Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера:

I_x — I_s + md² — момент инерции тела относительно произвольной оси х равен сумме момента его инер­

ции I_s относит-но параллельной оси, проходящей ч/з центр масс тела, и произведения массы m тела на квадрат расстояния d между осями.

Пример применения теоремы Штейнера (рис.3,я): момент инерции прямого тонкого стержня длиной I относительно оси 00', которая перпендикулярна стержню (с массой ш) и проходит через его конец (эта ось

отстоит на d = II2 от оси, проходящей через центр стержня): I_x = I_s +w(//2)² = w/²/l2 + ml²/А = ml¹ /Ъ. Таким образом, величина момента инерции зависит от выбора оси вращения. * Моментом М силы F относительно неподвижной точки О в механике называют физическую величину, определяемую

векторным произведением радиуса-вектора г, проведенного из точки О в точку а приложения силы, на силу F : м = [tF] . Модуль момента силы: М — rF Sin GC — Fl, где / = r sin а - плечо силы - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О, ос — угол между вектором силы и радиус-вектором (см. рис. 3,6).

У Момент силы относительно неподвижной оси х -скалярная величина М_х, равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси х. Значение момента не зависит от выбора положения точки О на оси х. * 2-ой закон Ньютона для вращательного движения. При повороте тела под действием силы F на бесконечно малый угол dtp точка А приложения силы проходит путь ds = rd(p, и работа равна: dA — Fr sin a dcp . Работа вращения тела идет на увеличение его кинетиче­ской энергии: dA = dW_k = d[{I_xC0²/2)= I_xco dco. Тогда M_xd(p = I_xCO dco,v\m д,/ ^L-i co^-, откуда M_X=I_XS.

^x dt ^x dt

Если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство М = Is, где / —

главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси). М = Is — выражение 2-ого закона Ньютона для

враща тельного движения.

Используя величину момента импульса L = 1(0, основное уравнение динамики вращательного движения твердого me/ia м-

но выразить таким соотношением: А4 = -— L. (* * *)

dt

~k в замкнутой системе момент внешних сил М = 0, следовательно, и dbjdt = 0, т.е. L = Const — _закон сохранения момента

импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени. Это - фундаментальный закон при­роды. Он является следствием изотропности пространства: инвариантность физических законов относительно выбора направления осей ко­ординат системы отсчета.

У При равномерном вращении твёрдого тела относительно некоторой оси * закон сохранения момента импульса L = Const равносилен соотношению I_ХС0 = Const. Т.о., если в нек-рой вращающейся системе изменить момент инерции (каким-либо образом, например, «за счёт внутреннего усилия» деформировать вращающееся тело), должна измениться и угловая скорость его вращения. ^ Кинетическая энергия и работа при вращении тела. АТТ вращается около неподвижной оси х, проходящей через него.

Все точки движутся с одинаковой угловой скоростью. Кинетическая энергия тела: W_kgp = Xly-i ^т j^v] / ^ ~ ^m/(^<yr;)²/ ^ = ^mj^rf )/2 ~ где I_x- момент инерции тела относительно оси х.

У Если АТТ совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий: W_k = mv² j2 + lco~ j2 . Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательного и враща­тельного движений также м-но сделать вывод о том, что в качестве меры инертности при вращательном движении выступает момент инерции тела. Элементарная работа при вращательном движении dA — [M^dcp^, где Mq — момент силы, ар —элементарный

угол поворота. Поск-ку угол между векторами момента силы и угла при вращательном движении — прямой и rfcp = (ddt, то

dA = M₀adt (здесь СО — угловая скорость). Работа в случае переменного момента М = М(ф) выразится

2 2

А[2 ⁼ |^M((p)d<p = ^ ² — ^ = AJV_k (здесь соу^ ~ значения угловых скоростей соотв-но в состоянии (1) с углом Ф1 и состоянии (2) с углом ф₂).

Основные характеристики вращательного движения физических тел - ММФ (ТХВ - 5_12)

Лекция 6 Закономерности вращательного

11

движения

¹

Гироскоп. Сила инерции во вращающейся системе коорди­нат. Условия равновесия тел.

9 Гироскоп представляет собой массивное тело, совершающее движение

со скоростью со вокруг оси, к-рая проходит через центр масс (рис. 1 ,я). При попытке поворота тела вокруг оси, перпендикулярной оси вращения (назовем это вращение со скоростью со собственным), тело начинает движение вокруг оси, перпендикулярной плоскости, в которой находится ось собственного вращения и вынуждающая к повороту сила. При этом движении ось собственного вращения

начинает особое вращение со скоростью со_пр, называемое прецессией, вокруг

начального положения оси собственного вращения (рис.1,б). Тем самым начальное направление вращения сохраняется. Эффект носит название

гироскопического и объясняется на основе уравнения динамики вращательного движения (*): — L= М — при

I dt

наличии силы Р, под действием к-рой должен совершиться поворот (рис.1,б), возникает соответствующий момент сил М = [г Р] , собственный момент импульса L приобретает приращение AL = MAt, совпадающее с ним по

направлению и увлекающее вращающийся гироскоп в движение перпендикулярно L (или со) и Р. Вместо поворота (наклона) в сторону вектора силы тяжести гироскоп, совершающий вращение вокруг собственной оси, начинает вращательное движение вокруг вертикальной оси.

О применении гироскопов. Широкое применение гироскопов в технике связано с использованием гироскопических сил и устойчи­вости вращения оси гироскопа. Устойчивость оси вращения используется для:

1. создания приборов гироскопической стабилизации, применяемых для автоматического управления движением самолетов, судов, торпед, ракет и т. д.;

2. создания различных навигационных гироскопических приборов - указатели курса, поворота, горизонта, стран света и т. д. Наиболее важные из них - гировертикаль - прибор для определения истинной вертикали (или плоскости горизонта) и гирокомпас - прибор для указа­ния плоскости географического меридиана.

> Силы, к-рые появляются как следствие гироскопического эффекта, могут оказать и полезное, и разрушительное действие. В ходе Прлета винт (или турбины реактивных двигателей) самолёта вращаются, и при повороте этого самолета в плоскости полета возникают силы, к-рые заставляют двигаться самолет вертикально вниз. При движении кораблей происходит вращения турбин его двигателей. Если корабль подвержен килевой качке - точки крепления турбин движутся вверх-вниз, то проявляются очень большие силы гироскопической природы, действующие в горизонтальной плоскости, к-рые способны, в принципе, разрушить места крепления оси турбины двигателя.

© Движение материальной точки в неинерциалъной системе отсчета (НИСО)

Рассмотрим две системы отсчёта, одна из к-рых является неподвижной (К), а другая - подвижной (К). Пусть точка

/^движется относительно системы К, которая сама движется относительно систе­мы К (рис.2, а). Движение точки /^относительно подвижной СО называется относи­тельным. Движение подвижной системы отсчета по отношению к неподвижной СО называют переносным. Движение точки /^относительно неподвижной СО называ­ют абсолютным. Абсолютное движение точки (или тела) можно назвать также сложным, ибо его можно рассматривать как результат сложения относительного и переносного движений, к-рые по отношению к абсолютному движению являются составляющими движениями.

Изменение траектории шарика, движущегося по вращающемуся

Проявление сил Кориолиса 8 системе координат, связанной с планетой Земля

^ Абсолютными скоростью и ускорением точки называют её скорость и ускорение в абсолютном движении lv_a6c, а_абс\ Относительными скоростью

и ускорением точки называют ее скорость и ускорение в относительном движе­нии /7. Z \ Переносными скоростью и ускорением называют скорость

V отн , а отп

и ускорение той точки подвижной системы координат, с к-рой в данный момент времени совпадает материальная точка (v_nep_r а_пер ^ > Доказывается, что в случае произвольного движения подвижной системы отсчета ^««с = + , где Clkop = 2[(У • Т>₀тн] — ускорение Кориолиса,

гироскоп : прецессия

2.

7.

а

п М ^v°^mH- V„

К'\

Аг

X

У

К

у

Неподвижная и подвижная системы отсчШа

Л>

а иве = a on,» + ^s „е_Р + а_пр.

Р/т .

Тогда

а

кор

^акор Э^то выражение м-но считать записью 2-ого за-

я„

я.

отн -'пер

кона Ньютона в НИСО. В число сил, действующих на тело со стороны других тел, включаются так называемые силы инерции: переносная сила инерции, обусловли-

т , и сила Кориолиса, вызывающая ускорение

рин

вающая ускорение а_пе^ — ^_nejJ

- Щ/т -

Кориолиса: а_КОр ■■

У В случае ускоренного поступательного движения НИСО а„_ер численно равно уско­

рению движения системы отсчета и направлено в противоположную сторону ее движения. Проявление сил инерции при поступательном движении наблюдается в повседневных явлениях (напр-р, движение пассажира в ускоряющемся или тормозящем автобусе).

У

к-рое возникает при движении тела во вращающейся системе координат (рис.2,б). * Рассмотрим сейчас случай сложного движения материальной точки массой т под действием силы F. 2-ой закон Ньютона в этом случае можно записать в виде

^абс — Е/^{т или} Я-отн ⁺ ^пер

= Р/т

Для случая равномерно вращающейся НИСО а_пер численно равно нормальному (центростремительному)

ускорению

центробежная сила инерции К^мн -

±ин.

со г), со - угловая скорость вращения системы, г - расстояние от точки до оси вращения. Тогда цб - ^т® Г , где Г - вектор, проведенный от центра окружности, по к-рой движется

точка, к самой точке.

*ин.

< Сила инерции Кориолиса Р"к₀р возникает при движении тела во вращающейся системе координат. Следователь-

•ин.

но, Fкор - -такор или Fkop = -2т[а> ■ У₀тн] = 2т[1>отнС0]. На рис. вверху шарик, к-рый д-н двигаться по прямой

_отн вращающемуся со скоростью со диску, из-за действия силы Кориолиса совершает

траектории со скоростью V — сложное движение по кривой.

У Очень интересным является проявление сил инерции Кориолиса при движении тел с севера на юг (или наоборот) (рис. 2, в). Из­вестно, что Земля вращается против часовой стрелки, если смотреть с севера С на юг Ю. Значит, вектор угловой скорости СО направлен по оси собственного вращения Земли от Ю к С. Поэтому при движении тел с юга на север (или наоборот) сила инерции Кориолиса на­правлена всегда в правую сторону по отношению к направлению движения (эффект более сильного подмывания правых берегов рек в Северном полушарии).

у В природе и опытах среди примеров проявления сил инерции называют закономерности в течении Гольфстрим, в движении ци­клонов, в повороте плоскости колебаний маятника Фуко.