1 x.

Э Физика - наука о простейших формах движения материи и соответствующих им наиболее общих законах природы. Изучаемые

физикой формы движения материи (механическая, тепловая, электрическая, магнитная и т.д.) являются составляющими более сложных форм движения материи (химических, биологических и др.), поэтому физика является основой для других естественных наук (астрономия, биология, химия, геология и др.).

-г Физика - база для создания новых отраслей техники - фундаментальная основа подготовки инженера.

В своей основе физика - экспериментальная наука: ее законы базируются на фактах, установленных опытным путем. В результате обобщения экспериментальных фактов устанавливаются физические законы - устойчивые повторяющиеся объективные закономерности, существующие в природе, устанавливающие связь между физическими величинами. ■* Международная Система единиц (СИ ) (System International - SI)

Для установления количественных соотношений между физическими величинами их необходимо измерять, т.е. сравнивать их с соответ­ствующими эталонами. Для этого вводится система единиц, которая постулирует основные единицы физических величин и на их базе опре­деляет единицы остальных физических величин, которые называются производными единицами.

Основные единицы:

Метр (м) - длина пути, проходимого светом в вакууме за 1/299792458 с. Килограмм (кг) - масса, равная массе международного прототипа килограмма (платиноиридиевого цилиндра, хранящегося в Международном бюро мер и весов в Севре, близ Парижа). Секунда (с) — время, равное 9 192 631770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома це­зия-133.

Ампер (А) - сила неизменяющегося тока, к-рый при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого поперечного сечения, расположенных в вакууме на расстоянии 1 метр один от другого, создает между этими проводниками силу, равную 2 10 ~⁷ Н на каждый метр их длины. Кельвин (К) — 1/273Д6 часть термодинамической температуры тройной точки воды. Моль (моль) - количество вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько атомов содержится в 12г изотопа

12

углерода С . Кандела (кд) - сила света в заданном направлении от источника, испускающего монохроматическое излучение частотой v = 5.4 10 ¹² с"¹, энергетическая сила света к-рого в этом направлении составляет 1/683 Ватт! стерадиан.

Дополнительные единицы системы СИ:

Радиан (рад) - угол между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу. Стерадиан (ср) - телесный угол с вер­шиной в центре сферы, вырезающий на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной равной радиусу сферы.

Производные единицы устанавливаются на основе физических законов, связывающих их с основными единицами. Например, производ­ная единица скорости {м/с) получается из формулы равномерного прямолинейного движения V = S/t .

в Основные математические понятия. В физике различают скалярные и векторные величины. К 1-ым относят те, к-рые могут опре­деляться лишь количественно, напр-р, длина, объем, масса, температура, работа и энергия, заряд, сила тока, электрические ёмкость, сопротивление, напряжение, интенсивность света,- Для 2-ых также характерна количественная определенность, но их всегда соотно­сят с направлением в пространстве. К примеру, это скорость и ускорение, сила и импульс, плотность тока, напряженность и индукция.

Одним из важнейших математич. понятий является понятие функции. Предположим, имеется 2 переменных величины хи у. Переменная у является функцией переменной величины х, если каждому значе­нию хсопоставлено 1 значение переменной у(сл-т помнить, что это верно для однозначной ф-ции). Т.е., для того, чтобы задать функцию у, необходимо

1. указать множество всех возможных значений независимой переменной х, это мн-во (D) наз-ся областью определения ф-ции, а переменная х— аргументом ф-ции;

2. правило, по к-рому каждому знач. а-из мн-ва Dсопоставляется соответствующее число у. Это число /называют значением ф-ции в точке х. Множество значений у образует область значений ф-ции.

Ф-ционал. зависимость обозначается нек-рой буквой (как пр., греч. или лат.) -у = f(x), у = u(t), у = ф(х), у = p(f). . . В физи­ке чаще используется одна буква, нередко используют нижние индексы (\j = CpfcW) (здесь независимыми переменными являются x,t).

• Все физич. величины, кроме особых величин, именуемых константами, м-т быть функциями координат и времени, т.е. быть неоднород­ными в пространстве, характеризуясь нек-рым распределением, и изменяться во времени. Подобные величины аддитивны, т.е м-т скла­дываться. Если для скалярных величин это обычная арифметич. операция (или алгебраическая - с

учётом знака переменной), то сложение векторов происходит как геометрическая операция ~>. R 1 f^ 2

• R

  А

  Результат суммирования двух векторов R и S находят по правилу определения одной из диаго-

^ налей параллелограмма, образованного векторами В случае суммы R + S — это ^ большая диагональ (см. рис.1), разности (2) —R — S. В математике различают две

ГС

R ■ S\ (так-

^: RS sin ф, т.е. как площадь параллелограмма,

flFs]

Ч"

операции умножения векторных величин. Скалярное умножение записывают как [r ■ s\ его результат - число, т.е., ска- Ш ^ лярная величина, выражаемая как RS COS ф или ещё так: (i? ■ 5")= R$S (здесь ф—угол между векторами (рис.3), = R COS ф — проекция вектора R на направление вектора 5¹) Векторное произведение обозначают как же - Ry.S\ это - вектор, его величина (модуль) выражается как

RS

образованного векторами. Вектор произведения ортогонален (перпендикулярен!) плоскости, в к-рой лежат векторы- сомножители, направление по отношению к плоскости определяется по правилу правого винта (по направлению вращения 1-го сомножителя ко второму по наименьшему углу (см. рис. 4,5)). Если векторы заданы проекциями, т.е. известны

R{R_X, R_y, R_z ) и S{S_X,S_},,S_Z\ то возможно представление R — iR_x + jR_y + kR, и S — iS_x + jS_y + kS_z (здесь i, j, k — единичные векторы (орты) направлений прямоугольной (декартовой) системы координат). Скалярное произ­ведение в этом случае выразится так: (R ■ S) = R_XS_X + R_yS_y + R_ZS_Z', векторное:

[R • S] = (V_₇ - R_zS_y)i + (R_ZS_X - R_xS_z)~j + (R_xS_y - R_yS_x]k.

■Ф Важным математическим понятием является производная функции. К понятию производной подходят с помощью физ. задачи о нахождении мгн. скорости движения материальной точки (МТ). Положим, путь, проходимый МТ, зависит от времени по нек-рому з-ну

S = S(f), напр-р, S = at²12. Следует определить скорость МТ в момент времени t. Для этого необходимо величину расстояния раз­делить на величину промежутка времени. Вудем придавать м-ту вр-ни tприращения A/j, А/3 и находить соотв. приращения пути

AS,, AS₂,AS₃. Отношения ₌ ^{+ At}i) S(t) ₌ ^^ ₌ ^ AS^ _{= =} равные tg угла на-

Aty At'}

клона секущей к горизонтальной оси определяет средние скорости на соответствующих участках. Эти скорости и значения tg углов бу­дут зависеть как от положения т-ки А на кривой S{t), так и от приращения At (рис.6). Оч-но, для определения скорости в точке А (м-т времени t) надо уменьшать промежуток времени At (At —> О). Тогда и AS —> 0, но их отношение б-т стремиться к tg а. Математич. это записывается

так- lim AS/At = tga = v. Величиной предела устанавливается значение производной ф-ции S(f). По- добная операция нахождения производной - также ф-ции аргумента t - носит названия дифференцирования, и

её мат. символ записывается так — S(t) = S'_f (S'_t (t) - v\

dt

Для примера рассматривается S(f) = at²/l -> S(t + At) = a(t + At)² /2 AS = a[(t + At)² - t²]j2 = ^{itAt - At²)

Далее в пределе отношения ±s_ ₌ ± _ _dt\ _ai _ _v 2 At 2

Впервые на примере механич. задач было понято, что 1-ая производная соответствует скорости изменения функции, а так наз. 2-ой про­изводной — S'_f = S"_t (t) описывается её ускорение - S" _t (f) = а. По отношению к скорости это 1-ая производная, для функции пути -

dt

dS		dv	d2S	-
dt		It ~	dr	r =
и	V =	-> dx 1 — dt	- + 7	dy_ dt

dz

6a

S -Fib) - F(a)

0 «

VX

J?N -

силы F по траектории движения тела - известно, что А

где Т-±_г Г2 — модули радиус-векторов начальной и конечных точек

перемещения тела по траектории г.

Введение в физику (основы математич. представлений в физике - Механика) (ММФ / ТХВ_12)

2-ая. В разных задачах при перемещении тел по заданному как функции времени /(f) пути м-но т.о. использовать производную для опре­деления скорости и ускорения в любой м-т времени: S = S(f) i(t) = — a(t) = — = ,- г = r(f) lit) = — r(i) a(t) = -^-r(t); однако, в

d?

dx

+ k

этом случае задано г(х, у, z), так что определяются _v _

¹ dt ' dt ^J dt dt

• В случае, если ф-ция задана графически, т.е., соответствие между переменными величинами устанавливается по графику, величину производной в нек-рой точке (аргумент ф-ции) определяют тангенс угла наклона касательной к соответствующей точке на графике ф-ции.

• Итак, отметим: механич. смысл производной в том, что это - скорость изменения функции в зависимости от изменения аргумента. Гео- метрич. же смысл производной в том, что её величиной и знаком определяется тангенс угла наклона касательной, проведенной к точке гра­фика при данном значении аргумента (tga).

■Ф К понятию определенного интеграла приходят, рассматривая площадь криволинейной трапе­ции (рис.6,я). Нижнюю границу трапеции образует интервал (область аргумента) [я,Ь], верхнюю - кривая зависимости ф-ции f(x) на [я,Ь]. После разбиения области аргумента [a,b] на N интервалов

длины Ах её м-но определить как сумму ^ /(й + j • Ах) - Ах.

При стремлении Ах к dx (т.е. принимая приращение аргумента беек, малым) получим, что площадь под кривой равна разности значений первообразной ф-ции fix), именно F(x) в крайних точках отрезка. Эта площадь (её величина) - предел, к к-рому стремится указанная сумма, и этот предел выразится как S = F(b) - F(a). Обычно записывают

-S = f_a f{x) ■ dx = F(x)\^b_a = F(a)~ F(b).

Операция нахождения площади под кривой нек-рой функции f(x) (т.е., величины, числа) носит название определенного интегрирования. Первым её этапом выступает нахождение первообразной или неопределённое интегрирование, на втором - находится разность значений первообразной в крайних точках интервала). Результатом определенного интегрирования м-т быть не только число (т.е., определенная пло­щадь под кривой), но и функция. Напр-р, таков результат нахождения площади как функции переменной крайней (допустим, правой) точки интервала -Ь-х. Тогда очевидно, что в ходе интегрирования определится переменная величина S(x) = F(x) — г (a) .

Б WW С ПК Д. ~ 5

я_г/5₂ = - т₂/щ • 5

= Р/т 12

Двумя важными понятиями, связанными с интегрированием, являются характеристики векторного поля —

поток векторной физической величины, выражаемый как j^Rds] — поток вектора R через поверхность сг, а также циркуляция вектора

R по нек-рому контуру (участку траектории - в общем случае, криволинейной): | j - циркуляция вектора R по контуру L. В обоих случаях это - скалярные величины, характеризующие векторные поля. Если поток определяется сквозь замкнутую поверхность сг, обознача­ют - c^RdS^ при нахождении циркуляции по замкнутому контуру L записывают: tj (jRdz) . Здесь вектор dS - вектор элементарного

участка (исчезающе малого, как и предполагается при интегрировании) поверхности ст, его величина равна площади поверхности участка

dS, направление совпадает с направлением нормали к центру участка (рисДя), аналогично dl - вектор элементарного участка траектории, направление вектора определяется касательной к точке в центре элементарного участка (рис.8,б). Интегрирование при определении потока v. циркуляции в общем случае производится особым образом, выражения сводятся к сложным 3-хмерным интегралам.

Считается, что поток вектора усредненно характеризует результативность источников векторного поля (напр-р, электрич. заряды как источники /полюсы/ электростатич. поля), а циркуляцией вектора (обычно - силового вектора /силовой характеристики/ поля) выражается работа по перемещению единичного элемента, подвергающегося действию данного поля, по участку траектории в области силового поля. Именно представление о работе (процессе превращения энергии из одной формы в другую) дает возможность понять физическую сущность циркуляции вектора по контуру - величина А (работы силы) по перемещению физического тела равна циркуляции вектора действующей

Лекция 2. Щ ^gHS^^BPTffffflHgj линемотако поступательного движения: траектория и путь, векторы перемещения, скорости и I I ■ : . • ■^&а ': ускорения. Криволинейное движение: скорость и ускорение. Угловая скорость и угловое ускорение. ||

в МЕХАНИКА и её СТРУКТУРА

В механике изучаются закономерности механического движения и причины, вызывающие или изменяющие это движение. Под механическим движением понимают изменение взаимного расположения тел или их частей в пространстве с течением времени. Когда говорят о классической механике, имеют в виду, что изучают движение макроскопических тел, совершающееся со скоростями, во много раз меньшими скорости света в вакууме.

Законы движения тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света в вакууме, изучаются релятивистской механикой. Квантовая механика изучает законы движения атомов и элементарных частиц. > Разделы механики:

Кинематика- изучает движение тел, не рассматривая причины, которые это движение обуславливают. Динамика-изучает законы движения тел и причины, которые вызывают или изменяют это движение. Статика— изучает законы равновесия системы тел.

9 МОДЕЛИ в МЕХАНИКЕ

Механика для описания движения в зависимости от условий конкретных задач использует разные упрощенные физические модели:

• Материальная точка— тело, форма и размеры которого несущественны в условиях данной задачи.

• Абсолютно твердое тело-тепа, деформацией которого в условиях данной задачи можно пренебречь и расстояние между любыми

двумя точками этого тела остается постоянным.

• Абсолютно упругое тело-тело, деформация которого подчиняется закону Гука, а после прекращения внешнего силового воздейст­

вия такое тело полностью восстанавливает свои первоначальные размеры и форму.

• Абсолютно неупругое тело- тело, полностью сохраняющее деформированное состояние после прекращения действия внешних сил.

Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движений. Поступательное движение - это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, остается параллельной своему первоначальному положению.

Вращательное движение - это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

9 Кинематика

Система отсчета. Траектория, длина пути, вектор перемещения.

Движение тел происходит в пространстве и во времени. Поэтому для описания движения материальной точки надо знать, в каких местах пространства эта точка находилась и в какие моменты времени она проходила то или иное положение.

• Тело отсчета - произвольно выбранное тело, относительно которого определяется положение остальных тел. Система отсчета- совокупность системы координат (СК) и часов, связанных с телом отсчета. Наиболее употребительна СК, именуемая декартовой - представлена 3-мя единичными по модулю и взаимно ортогональными

векторами X, к (указывающими направление вдоль Ox, Оу, Oz, их совокупность называют ортонормированным базисом системы), про­

веденными из начала координат.

• Положение произвольной точки М характеризуется радиусом-вектором г, соединяющим начало координат О с точкой М: г — х ■ 1 +/ + г • k , f?f = г = _Л/ат* + у~-ь г" . Движение материальной точки полностью определено, если декар­товы координаты материальной точки заданы в зависимости от времени: х = X(f), у = Y(i), z = Z(f).

Эти уравнения называют кинематическими уравнениями движения точки. Они эквивалентны одному векторному уравнению движения

точки: Г = f(t). Линию, описываемую движущейся материальной точкой (или телом) относительно выбранной системы отсчета, называ­ют траекторией. Уравнение траектории N(x, у, z) = 0 м-но получить, исключив параметр/из кинематических уравнений.

^ В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным и криволинейным.

• Длиной путиточт называется сумма длин всех участков траектории, пройденных этой точкой за рассматривае­мый промежуток времени As = As(t) . Длина пути - скалярная функция времени.

Вектор перемещения Аг = г — г ₀ — вектор, проведенный из начального положения движущейся

точки в положение её в данный момент времени (приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени).

2, xi

И

^M'

As

;

Ar=r-r₀=r(t)-r(t₀) = Ax-J + Ау-j +Az-k

dr

= dr.

В пределе At-> 0 длина пути по хорде ASia длина хорды Аг — |Дг [ будут всё менее различаться: dS =

Из других СК нередко используют сферическую, в ней положение точки задается полярным радиусом-вектором Г и двумя углами — один из них указывает направление радиуса-вектора относительно вертикальной оси (угол склонения ,.

,9 —> $ С (— ж/2 , яг/2]), 2-ой - азимутальный угоп (р -> (р a

чГ Скорость

Скорость - это векторная величина, которая определяет как быстроту движения, так и его направление в данный момент времени. Вектором средней скорости за интервал времени At называется отношение прираще­ния Аг радиуса-вектора точки промежутку времени At = ^j. Направление вектора средней скорости совпа­дает с направлением Аг. Единица скорости—м/с.

Мгновенная скорость - векторная величина, равная 1-ой производной по времени от радиуса-вектора г рассматриваемой

d - - „

l/Af = lim AS/At

I / At-*0

времени: v = \v = lim Дг Al—>0

г - т . Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории

точки: v

lim Аг /At = д f —> о dt

в сторону движения {рисА)1). Модуль мгновенной скорости (скалярная величина) равен первой производной пути по

dS

— (поэтому dS = V dt). При неравномерном движении dt

1f\r
	v

модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. Поэтому можно ввести скалярную величину Ы - среднюю скорость неравномерного движения (другое название - средняя путевая скорость): (v) = AS/At.

Длина пути S, пройденного точкой за промежуток времени от fi до Ъ>. за­дается интегралом: S - Jj'² v(t)dt . При прямолинейном движении точки на­правление вектора скорости сохраняется неизменным.

Движение точки называется равномерным, если модуль ее скорости не изме­няется с течением времени (v = Const) - для него S = vAt. Если модуль

скорости увеличивается с течением времени, то движение называется ускорен­ным, если же величина скорости убывает с течением времени, то движе­ние называется замедленным. Ускорение. Ускорение - это векторная величина, определяющая быстроту изменения скорости по модулю и на­правлению. Среднее ускорение в интервале времени At — векторная величина, равная отношению изменения скорости к интервалу времени At: (S) = (Дь-5/it

• Мгновенное ускорение материальной точки - векторная величина, равная первой производной по времени ско­рости рассматриваемой точки (второй производной по времени от радиуса-вектора этой же точки):

__ _lim Av _dv _±_d^zr

А/ dt dt² Единица ускорения - м/с². В общем случае плоского криволинейного движения вектор ускорения удобно представить в виде суммы двух про­екций: a = й_г + Я_п. Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по модулю (рис.(А)), его величина: я_т = dvjdt. Нормапьное(центростремительное) ускорение я_н направлено по нормали к траектории к цен­тру ее кривизны О и характеризует быстроту изменения направления вектора скорости точки. Величина a_n нормального ускорения связана со скоростью V движения по кругу и величиной радиуса R (рис.В)). Пусть jz^J = ]р₂\ — ^v- Тогда для а 0 получаем Av sin а и va, AS = vAt я Ra a ~ (vAt)/R , тогда Av_n — [p^At^R

Av_njAt = v^/R z=> a_n = dv_njdt = v~/R ; величина полного ускорения (рис.С)): a = _лJ a+ .

• С

  Итак, виды движения классифицируются т.о.:

  1. й-г = 0, a_n — 0 - прямолинейное равномерное движение : я = 0.

  2. a_x = a — Const, a_n = 0 — прямолинейное равнопеременное (равноускор.) движение.

  3. а_х = 0, a_n = v²/r - равномерное движение по окружности.

  4. йт Ф 0, Яи 0 — криволинейное равнопеременное движение.