1.2. Аналитическая запись переключательных функций, разложения функций

Способ, предполагающий перечисление наборов, на которых функция принимает значение 1, удобен для функций, имеющих небольшое число единиц в таблице истинности. В некоторых случаях существенно упростить задание функции удается с помощью аналитической записи, когда переключательную функцию представляют в виде некоторой логической формулы. Строго говоря, при рассмотрении аналитических представлений фактически мы имеем дело не с переключательными функциями, а с представляющими их формулами, которых значительно больше, чем переключательных функций, поскольку каждой переключательной функции соответствует множество формул. Обычно множество различных формул, соответствующих рассматриваемой переключательной функции, получают с помощью эквивалентных преобразований, основанных на свойствах булевых алгебр. При этом две формулы считаются эквивалентными, если они представляют одну и ту же переключательную функцию. Следует помнить, что логическая схема реализует переключательную функцию, а структура логической схемы определяется видом формулы, представляющей эту функцию.

Переключательные функции обладают интересными, с точки зрения практического применения, свойствами. Для удобства дальнейшего изложения введем обозначения. Пусть

(1.1)

откуда следует, что

при ,

при .

Произведения вида называют конъюнкциями l переменных и записывают в векторной форме следующим образом: . В такой записи вектор переменных определяет, какие переменные образуют конъюнкцию, а набор задает порядок расстановки знаков инверсии над ними. Например: К_(0,1,0,1) (x₁,х₂,х₃,х₄) = .

Разобьем вектор переменных на два подвектора и таким образом, чтобы подвектор состоял из k, а подвектор из n - k переменных: и . Такому разбиению вектора переменных соответствует разбиение вектора значений также на два подвектора: и .