- •Введение
- •1. Переключательные функции и их свойства
- •1.1. Алгебра переключательных функций
- •1.2. Аналитическая запись переключательных функций, разложения функций
- •1.3. Совершенные дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
- •1.4. Графическое и геометрическое представление переключательных функций
- •2. Минимальные формы переключательных функций
- •2.1. Общие положения
1.1. Алгебра переключательных функций
Перейдем к рассмотрению свойств множества функций Р (n). Прежде всего отметим, что это множество является частично упорядоченным, поскольку для некоторых пар функций иможно установить отношение частичного порядка, если в векторе значений функции, вычисленном для всех возможных наборов, единицы стоят на всех тех местах, на которых они стоят в векторе значений функции, и может быть, еще на некоторых.
Определим на этом множестве операции нахождения наибольшей нижней и наименьшей верхней граней. Согласно определению, каждая переключательная функция из множества Р(n) может принимать только значения из множества В (2). Если определить операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания с помощью табл. 1.3 и 1.4, то путем подстановки нетрудно убедиться, что все аксиомы булевой алгебры, оказываются справедливыми для этих операций. Например, подставляя вместо х вначале 0, а затем 1 в выражение , убеждаемся, что это равенство справедливо для любогох В(2).
Таблица 1.3
|
|
|
|
|
Таблица 1.4
| |||||||||
0 |
0 |
0 |
0 1 1 1 |
|
|
| ||||||||
0 |
1 |
0 |
|
0
1 |
1 0 | |||||||||
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 | |||||||||
1 |
1 |
1 |
| |||||||||||
|
|
|
|
Используя введенные операции, можно выполнять операции над значениями различных функций, соответствующих одному и тому же набору аргументов . Следовательно, на множествеР(n) можно определить операции конъюнкции и дизъюнкции, соответствующие нахождению наибольшей нижней и наименьшей верхней граней, следующим образом. Результатом конъюнкции функций иявляется функция, значения которой получаются путем вычисления конъюнкции значений на всех наборах . Результатом дизъюнкции функцийиявляется функция, значения которой получаются путем вычисления дизъюнкции значений на всех наборах .
Таким образом, можно сделать вывод, что частично упорядоченное множество Р(n) с определенными на нем операциями конъюнкции и дизъюнкции представляет собой алгебраическую решетку. Далее, можно утверждать, что при таком определении операций функция, принимающая значение 1 на всех наборах значений переменных , представляет собой наибольший элемент решетки -, а функция, принимающая значение 0 на всех наборах, - наименьший элемент решетки -.
Более того, для каждой функции в множествеР (n) существует инверсный элемент , который вычисляется путем инвертирования каждого из значений функции.
Примеры выполнения операций, а также элементы иприведены в табл. 1.5.
Таблица 1.5
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 0 1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 1 0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 1 1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 0 0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 0 1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 1 0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 1 1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
Для введенных операций конъюнкции и дизъюнкции для переключательных функций выполняются законы дистрибутивности. Справедливость этого утверждения основывается на свойствах операций конъюнкции и дизъюнкции, определенных на множестве В(2). Выполнение законов дистрибутивности нетрудно проверить с помощью подстановки значений переменных.
Итак, множество переключательных функций Р(n) с определенными на нем операциями конъюнкции, дизъюнкции, отрицания, наибольшим и наименьшим элементами представляет собой дистрибутивную решетку с дополнениями(булеву алгебру), которую называют алгеброй переключательных функций.
Последний вывод позволяет утверждать, что все аксиомы и теоремы, справедливые для булевых алгебр, должны выполняться в алгебре переключательных функций.
Переменную в функцииназываютнесущественной, если при любых значениях остальных переменных. Это означает, что изменение значения переменной не изменяет значения функции, поэтому эту переменную можно исключить из числа аргументов и рассматривать заданную функцию как функцию, зависящую от n-1 переменной. Несущественные переменные можно не только удалять, но и добавлять к аргументам функции. Следовательно, если заданы две функции и, зависящие от разного числа переменных и k < I, то, добавляя к функции с меньшим числом аргументов (I – k) несущественных переменных, можно получить функции с одинаковым количеством аргументов k. Описанный прием позволяет рассматривать операции конъюнкции и дизъюнкции как операции, определенные на множестве переключательных функций, зависящих от различного числа аргументов.
С ростом числа переменных таблица истинности, задающая переключательную функцию, сильно усложняется. Чтобы избежать усложнения таблицы, в некоторых случаях функцию задают множеством номеров двоичных наборов, на которых она равна единице. Например, функция, приведенная в табл. 1.1., может быть задана в виде следующей совокупности двоичных наборов: или их десятичных эквивалентов:.