2.2. Коды и геометрическое представление конъюнкций

Элементарные конъюнкции отличаются расстановкой знаков отрицания над переменными, поэтому каждая такая конъюнкция однозначно определяется двоичным набором , на котором она принимает значение единицы. Задание конъюнкций рангаrn с помощью двоичных наборов не является однозначным, поскольку по такому набору нельзя установить, какие переменные входят в конъюнкцию. Для указания отсутствующих переменных вводят третье значение компонентов определяющего набора, которое обозначают буквой z. При этом считают, что эта буква, стоящая на i-м месте в наборе, определяющем конъюнкцию, показывает, что переменная х_i в рассматриваемой конъюнкции отсутствует. Тогда набор 0zz10 определяет конъюнкцию ₁₄₅, набор z1011 - конъюнкцию ₂₃₄₅, а набор zz0zz - конъюнкцию ₃. Компоненты набора, равные 0 и 1, называют связанными компонентами, а компоненты, равные z - свободными компонентами. Число связанных компонентов набора называют рангом этого набора. Ранг набора всегда совпадает с рангом конъюнкции, соответствующей этому набору.

В параграфе 2.1 описан способ задания переключательных функций в виде совокупностей конъюнкций, соответствующих некоторой ДНФ функции. Подобно этому способу, можно использовать задание функций в виде совокупности определяющих наборов (кодов), поскольку между конъюнкциями и наборами установлено взаимно однозначное соответствие. Обозначим множество наборов ранга r, связанных с заданной функцией, C^r(), а комплекс всех наборов - C(), причем C() = C ⁿ() C ^n-1() ... C¹().

Используя соответствие между конъюнкциями и кодами, нетрудно сформулировать правила выполнения операций склеивания и расширения применительно к троичным кодам. Два набора одного и того же ранга, у которых свободные компоненты расположены на одинаковых местах, а все связанные компоненты, за исключением одного, совпадают, называются смежными. Смежные коды соответствуют склеивающимся конъюнкциям.

Между конъюнкциями и кодами существует взаимно однозначное соответствие. Например, кодам 001 и 011, которые являются смежными, соответствуют конъюнкции

₁₂₃ и ₁₂₃, при склеивании которых получаем конъюнкцию меньшего ранга: ₁₂₃₁₂₃ = ₁₃(₂₂) =₁₃, которой соответствует код 0z1.

В случае геометрического представления склеивающимся наборам Cⁿ() соответствуют вершины куба, соединенные ребром, как это показано на рис. 2.1. Обозначим каждое ребро верхней грани куба кодом конъюнкции ранга n-1, представляющим собой результат склеивания противоположных вершин. Тогда противолежащие ребра, находящиеся в одной плоскости, будут соответствовать склеивающимся конъюнкциям ранга n-1. При этом грань куба можно обозначить кодом 1zz, полученным в результате склеивания кодов, соответствующих противоположным ребрам.

Соответствие между гранями куба и кодами показано на рис. 2.2. Для наглядности на рис. 2.2а жирными линиями показаны видимые, а на рис. 2.2б – невидимые грани 3-х мерного куба.

Рис.2.2

В общем случае соответствие между конъюнкциями, кодами и гранями гиперкубов сохраняется для любых рангов.

Результат склеивания смежных кодов можно получить путем замены в любом из них связанного компонента, которым они отличаются, свободным компонентом z. Например, наборы 01zz1z и 01zz0z являются смежными. В результате их склеивания получается набор 01zzzz. Исходным кодам соответствуют трехмерные грани шестимерного гиперкуба, а результату склеивания соответствует четырехмерный гиперкуб, являющийся частью шестимерного гиперкуба.

Совокупность двоичных наборов, из которых с помощью операции склеивания может быть получен код “а”, назовем интервалом этого кода и будем обозначать С(а). Построение интервала С(а) по заданному коду “а” может быть выполнено с помощью операции расширения. Эта операция заключается в том, что каждый свободный компонент а последовательно заменяется 0 и 1. Если код а = (а₁, а₂, ..., а_n) имеет свободных компонентов, то в результате операции расширения получается 2 двоичных наборов ранга n. Например, интервал кода а = 01zz1 имеет вид: С(а) = {01001, 01011, 01101, 01111}.